Екскурс в історію Алгебраїчні софізми

«Математичні софізми»

ЗМІСТ.

1. Введення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Софізм як поняття. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Екскурс в історію. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Алгебраїчні софізми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5. Геометричні софізми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Арифметичні софізми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7. Висновок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ВСТУП.

Напевно, кожна людина хоч раз у житті чув подібну фразу: «Двічі по два дорівнює п'яти» або хоча б: «Два дорівнює трьом». Насправді, таких прикладів можна навести дуже багато, але всі вони позначають? Хто їх вигадав? Чи мають вони якусь логічне пояснення або ж це лише вигадка ???

Саме ці питання я хочу розглянути в своїй роботі, назва якої - математичні софізми. Невипадково я вибрала саме математичні софізми (хоча бувають і логічні, і словесні). Вони, як мені здається, більш цікаві, мають чітке логічне пояснення, крім того, з математичними софизмами ми зустрічаємося набагато частіше, ніж зі звичайними. Саме поняття математичних софізмів передбачає кілька видів софізмів, адже в математичні можна включити і алгебраїчні, і геометричні, і найпростіші арифметичні.

Глава 1. «Поняття софізму. Історичні відомості »

Поняття софізму.

Софізм - (від грецького sophisma - виверт, хитрість, вигадка, головоломка), умовивід або міркування, що обгрунтовують яку-небудь явну безглуздість, абсурд або парадоксальне твердження, що суперечить загальноприйнятим уявленням. Яким би не був софізм, він завжди містить одну або кілька замаскованих помилок.

Що ж таке математичний софізм? Математичний софізм - дивовижне твердження, в доказі якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки. Історія математики сповнена несподіваних і цікавих софізмів, вирішення яких часом служило поштовхом до нових відкриттів. Математичні софізми привчають уважно і насторожено просуватися вперед, ретельно стежити за точністю формулювань, правильністю записи креслень, за законністю математичних операцій. Дуже часто розуміння помилок в софізм веде до розуміння математики в цілому, допомагає розвивати логіку і навички правильного мислення. Якщо знайшов помилку в софізм, значить, ти її усвідомив, а усвідомлення помилки попереджає від її повторення в подальших математичних міркуваннях. Софізми не приносять користі, якщо їх не розуміти.

Що стосується типових помилок в софизмах, то вони такі: заборонені дії, зневага умовами теорем, формул і правил, помилковий креслення, опора на помилкові умовиводи. Нерідко, помилки, допущені в софізм, настільки вміло приховані, що навіть досвідчений математик не відразу їх виявить. Саме в цьому і проявляється зв'язок математики і філософії в софизмах. Насправді, софізм- гібрид не тільки математики і філософії, але і логіки з риторикою. Основні творці софизмов - давньогрецькі вчені-філософи, але тим не менш, вони створювали математичні софізми, грунтуючись на елементарних аксіомах, що ще раз підтверджує зв'язок математики і філософії в софизмах. Крім того, дуже важливо правильно подати софізм, так, щоб доповідачу повірили, а значить, необхідно володіти даром красномовства і переконання. Група давньогрецьких вчених, почала займатися софизмами як окремим математичним явищем, назвала себе софістами. Про це докладніше в наступному розділі.

Екскурс в історію.

Софістами називали групу давньогрецьких філософів 4-5 століття до н.е., які досягли великого мистецтва в логіці. У період падіння моралі давньогрецького суспільства (5 століття) з'являються так звані вчителі красномовства, які метою своєї діяльності вважали і називали придбання і поширення мудрості, внаслідок чого вони іменували себе софістами. Найбільш відома діяльність старших софістів, до яких відносять Протагора з Абдери, Горгия з Леонтіп, Гиппия з Еліди і Продика з Кеоса. Але суть діяльності софістів багато більше, ніж просте навчання мистецтву красномовства. Вони навчали і просвіщали давньогрецький народ, намагалися сприяти досягненню моральності, цілковитого самовладання, здатності розуму орієнтуватися у всякій справі. Але софісти були вченими. Уміння, яке повинно було бути досягнуто з їх допомогою, полягало в тому, що людина вчилася мати на увазі різноманітні точки зору. Основним напрямком діяльності софістів стала соціально-антропологічна проблема. Вони розглядали самопізнання людини, вчили сумніватися, але все ж, це дуже глибокі філософські проблеми, які стали основою для мислителів Європейської культури. Що стосується самих софизмов, то вони стали як би доповненням до софістиці в цілому, якщо розглядати її як істинно філософське поняття.

Історично склалося, що з поняттям софізму пов'язують ідею про навмисну ​​фальсифікацію, керуючись визнанням Протагора, що завдання софіста- уявити найгірший аргумент як найкращий шляхом хитромудрих прийомів у мові, в міркуванні, дбаючи не про істину, а про успіх в спорі або про практичну вигоду. Там не менше, в Греції софістами називали і простих ораторів.

Найвідоміший учений і філософ Сократ по початку був софістом, активно брав участь в суперечках і дискусіях софістів, але незабаром став критикувати вчення софістів і софістику в цілому. Такому ж приклад наслідували і його учні (Ксенофонт і Платон). Філософія Сократа була заснована на тому, що мудрість отримується з спілкуванням, в процесі бесіди. Вчення Сократа було усним. Крім того, Сократа і до цього дня вважають наймудрішим філософом.

Що стосується самих софизмов, то, мабуть, найпопулярнішим на той момент в Стародавній Греції був софізм Евбуліда: «Що ти не втрачав, ти маєш. Рогу ти не втрачав. Значить у тебе роги ». Єдина неточність, яку можливо було допустити, то це-двозначність висловлювання. Дана постановка фрази є нелогічною, але логіка виникла набагато пізніше, завдяки Арістотелем, тому, якщо б фраза будувалася так: «Все, що ти не втрачав. . . », То висновок став би логічно бездоганним.

Подібних софизмов дійсно дуже багато, але хотілося б більше всього розібрати деякі математичні софізми, які найбільш популярні і відомі. Про це і буде наступна глава.

Глава 2. «Математичні софізми»

Розбір і рішення будь-якого роду математичних задач, а особливо нестандартних, допомагає розвивати кмітливість і логіку. Математичні софізми відносяться саме до таких завдань. У цьому розділі роботи я розгляну три типи математичних софізмів: алгебраїчні, геометричні та арифметичні.

Алгебраїчні софізми.

1. «Два неоднакових натуральних числа рівні між собою»

вирішимо систему двох рівнянь: х + 2у = 6, (1)

у = 4-х / 2 (2)

підстановкою у з 2го ур-я в 1 по-

отримуємо х + 8-х = 6, звідки 8 = 6

де помилка???

Рівняння (2) можна записати як х + 2у = 8, так що вихідна система запишеться у вигляді:

Х + 2у = 6,

Х + 2у = 8

У цій системі рівнянь коефіцієнти при змінних однакові, а праві частини не рівні між собою, з цього випливає, що система несумісна, тобто не має жодного рішення. Графічно це означає, що прямі у = 3-х / 2 і у = 4-х / 2 паралельні і не збігаються.

Перед тим, Як вирішувати систему лінійних рівнянь, корисно проаналізувати, чи має система єдине рішення, нескінченно багато рішень або не має рішень взагалі.

2. «асоціативної і переместительное властивості алгебраїчної суми не мають місця»

Розглянемо суму нескінченного числа доданків, по черзі рівних плюс одиниці і мінус одиниці, тобто

S = 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + ...... .., (1)

І спробуємо знайти значення цієї суми.

Спочатку поступимо таким чином. Будемо об'єднувати складові в пари, починаючи з другого доданка, ставлячи перед кожною парою «мінус», тобто

S = 1 (1-1) - (1-1) - .... = 1-0-0- ... = 1.

Тепер переставимо кожне позитивне доданок тієї ж суми (1) на місце негативного і назад, тоді

S = -1 + 1-1 + 1-1 + 1 ... = -1 + (1-1) + (1-1) + ... = -1 + 0 + 0 + ... = -1.

Отже, по-різному переставляючи складові суми (1), ми прийшли до різних значень цієї суми: 1 і -1, в результаті сума доданків змінюється від перегрупування доданків, а сочетательное і переместительное властивості алгебраїчної суми не мають місця.

Де помилка???

3. «Двічі по два дорівнює п'яти».

Позначимо 4 = а, 5 = b, (a + b) / 2 = d. Маємо: a + b = 2d, a = 2d-b, 2d-a = b. перемножимо два останніх рівності по частинах. Отримаємо: 2da-a * a = 2db-b * b. Помножимо обидві частини отриманого рівності на -1 і додамо до результатів d * d. Будемо мати: a ² -2da + d ² = b ² -2bd + d ^2, або (ad) (ad) = (bd) (bd), звідки ad = bd і a = b, тобто 2 * 2 = 5

Де помилка???

З рівності квадратів двох чисел не слід, що самі ці числа рівні.

4. «Негативне число більше позитивного».

Візьмемо два позитивних числа а і с. Порівняємо два відносини:

а -а

-з з

Вони рівні, так як кожне з них одно - (а / с). Можна скласти пропорцію:

а -а

-з з

Але якщо в пропорції попередній член першого відносини більше подальшого, то попередній член другого відносини також більше свого подальшого. У нашому випадку а> -з, отже, має бути -а> с, тобто негативне число більше позитивного.

Де помилка???

Дана властивість пропорції може бути неправильним, якщо деякі члени пропорції негативні.

Геометричні софізми.

1. «Через точку на пряму можна опустити два перпендикуляра»

Спробуємо "довести", що через точку, що лежить поза прямою, до цієї прямої можна провести два перпендикуляра. З цією метою візьмемо трикутник АВС. На сторонах АВ і ВС цього трикутника, як на діаметрах, побудуємо півкола. Нехай ці півкола перетинаються зі стороною АС в точках Е і Д. З'єднаємо точки Е і Д прямими з точкою В. Кут АЕВ прямий, як вписаний, що спирається на діаметр; кут ВДС також прямий. Отже, ВЕ перпендикулярна АС і ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходять два перпендикуляра до прямої АС.

Де помилка???

Міркування, про те, що з точки на прямій можна опустити два перпендикуляра, спиралися на хибний креслення. Насправді півкола перетинаються зі стороною АС в одній точці, тобто ВЕ збігається з ВD. Значить, з однієї точки на прямій можна опустити два перпендикуляра.

2.«Сірник вдвічі довше телеграфного стовпа»

Нехай а дм - довжина сірники і b дм - довжина стовпа. Різниця між b і a позначимо через c.

Маємо b - a = c, b = a + c. Перемножуємо два ці рівності по частинах, знаходимо: b ² - ab = ca + c ^2. Віднімемо з обох частин bc. Отримаємо: b ² - ab - bc = ca + c ² - bc, або b (b - a - c) = - c (b - a - c), звідки

b = - c, але c = b - a, тому b = a - b, або a = 2b.

Де помилка???

У вираженні b (bac) = -c (bac) проводиться розподіл на (bac), а цього робити не можна, так як bac ​​= 0.Значіт, сірник не може бути вдвічі довше телеграфного стовпа.

3. «Катет дорівнює гіпотенузі»

Кут З дорівнює 90 ^о, ВД - бісектриса кута СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка перетину прямих ОК і ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Маємо: трикутник LВО дорівнює трикутнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, трикутник КОА дорівнює трикутнику ОМА (ОА - загальна сторона, КА = ОМ, кут ОКА і кут ОМА - прямі), кут ОАК = кутку МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, але ВМ = ВL, МА = СL, і тому ВА = ВС.

Де помилка???

Міркування, про те, що катет дорівнює гіпотенузі спиралися на хибний креслення. Точка перетину прямої, яка визначається биссектрисой ВD і серединного перпендикуляра до катету АС, знаходиться поза трикутником АВС.

Арифметичні софізми.

1. «Якщо А більше В, то А завжди більше, ніж 2»

Візьмемо два довільних позитивних числа А і В, такі, що А> В.

Помноживши цю нерівність на В, отримаємо нове нерівність АВ> В * В, а віднявши від обох його частин А * А, отримаємо нерівність АВ-А * А> В * В-А * А, яке рівносильне наступному:

А (В-А)> (В + А) (В-А). (1)

Після поділу обох частин нерівності (1) на В-А отримаємо, що

А> В + А (2),

А додавши до цієї нерівності почленно вихідне нерівність А> В, маємо 2А> 2В + А, звідки

А> 2В.

Отже, якщо А> В, то А> 2В. Це означає, наприклад, що з нерівності 6> 5 випливає, що 6> 10.

Де помилка???

Тут здійснений нерівносильні перехід від нерівності (1) до нерівності (2).

Дійсно, згідно з умовою А> В, тому В-А <0.Ето означає, що обидві частини нерівності (1) діляться на негативне число. Але згідно з правилом перетворення нерівностей при розподілі або множенні нерівності на одне й те саме від'ємне число знак нерівності необхідно змінити на протилежний. З урахуванням сказаного з нерівності (1) замість нерівності (2) отримаємо нерівність А <�В + А, додавши до якого почленно вихідне нерівність В <�А, отримаємо просто вихідне нерівність А + В <�В + 2А

2. «Один рубль не дорівнює ста копійкам»

Відомо, що будь-які два нерівності можна множити почленно, не порушуючи при цьому рівності, тобто

Якщо a = b, c = d, то ac = bd.

Застосуємо це положення до двох очевидних равенствам

1 р. = 100 коп, (1)

10р. = 10 * 100коп. (2)

перемножая ці рівності почленно, отримаємо

10 р. = 100000 коп. (3)

і, нарешті, розділивши останнє рівність на 10 отримаємо, що

1 р. = 10 000 коп.

таким чином, один рубль не дорівнює ста копійкам.

Де помилка???

Помилка, допущена в цьому софізм, полягає в порушенні правил дії з іменованими величинами: всі дії, що здійснюються над величинами, необхідно здійснювати також і над їх размерностями.

Дійсно, перемножая рівності (1) і (2), ми отримаємо не (3), а наступне рівність

2 + 2

10 р. = 100 000 к. ,

яке після поділу на 10 дає

2 + 2

1 р. = 10 000 коп., (*)

а не рівність 1р = 10 000 до, як це записано в умови софізму. Витягуючи квадратний корінь з рівності (*), отримуємо правильне рівність 1р. = 100 коп.

3. «Число, рівне іншому числу, одночасно і більше, і менше його».

Візьмемо два довільних позитивних рівних числа А і В і напишемо і напишемо для них такі очевидні нерівності:

А> -В і В> -В. (1)

Перемноживши обидва цих нерівності почленно, отримаємо нерівність

А * В> В * В, а після його розподілу на В, що цілком законно, адже В> 0, то дійдемо висновку, що

А> В. (2)

Записавши ж два інших настільки ж безперечних нерівності

В> -А і А> -А, (3)

Аналогічно до попереднього отримаємо, що В * А> А * А, а розділивши на А> 0, прийдемо до нерівності

А> В. (4)

Отже, число А, яка дорівнює кількості В, одночасно і більше, і менше його.

Де помилка???

Тут здійснений нерівносильні перехід від одного нерівності до іншого при неприпустимому перемножуванні нерівностей.

Проробимо правильні перетворення нерівностей.

Запишемо нерівність (1) у вигляді А + В> 0, В + В> 0.

Ліві частини цих нерівностей позитивні, отже, множачи почленно обидва ці нерівності

(А + В) (В + В)> 0, або А> -У,

що представляє собою просто правильна нерівність.

Аналогічно до попереднього, записуючи нерівності (3) у вигляді

(В + А)> 0, А + А> 0, отримаємо просто правильна нерівність В> -А.

4. «Ахіллес ніколи не наздожене черепаху»

Давньогрецький філософ Зенон доводив, що Ахіллес, один з найбільш сильних і хоробрих героїв, облягали древню Трою, ніколи не наздожене черепаху, яка, як відомо, відрізняється вкрай повільною швидкістю пересування ..

Ось приблизна схема міркувань Зенона. Припустимо, що Ахіллес і черепаха починають свій рух одночасно, і Ахіллес прагне наздогнати черепаху. Приймемо для визначеності, що Ахіллес рухається в 10 разів швидше черепахи, і що їх відділяють один від одного 100 кроків.

Коли Ахіллес пробіжить відстань в 100 кроків, що відділяє його від того місця, звідки почала рухатися черепаха, то в цьому місці він тугіше її не застане, так як вона пройде вперед відстань в 10 кроків. Коли Ахіллес мине і ці 10 кроків, то і там черепахи вже не буде, оскільки вона встигне перейти на 1 крок вперед. Досягнувши і цього місця, Ахіллес знову не знайде там черепахи, тому що вона встигне пройти відстань, рівну 1/10 кроку, і знову виявиться трохи попереду його. Це міркування можна продовжувати до нескінченності, і доведеться визнати, що прудконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільно плазує черепаху.

Де помилка???

Розглянутий софізм Зенона навіть на сьогоднішній день далекий від свого остаточного вирішення, тому тут я позначу тільки деякі його аспекти.

Спочатку визначимо час t, за яке Ахіллес наздожене черепаху. Воно легко знаходиться з рівняння a + vt = wt, де а відстань між Ахіллесом і черепахою до початку руху, v і w - швидкості черепахи і Ахіллеса відповідно. Це час при прийнятих в софізм умовах (v = 1 крок / с і w = 10 кроків / с) дорівнює 11, 111111 ... сек.

Іншими словами, приблизно через 11, 1 с. Ахіллес наздожене черепаху. Підійдемо тепер до тверджень софізму з точки зору математики, простежимо логіку Зенона. Припустимо, що Ахіллес повинен пройти стільки ж відрізків, скільки їх пройде черепаха. Якщо черепаха до моменту зустрічі з Ахіллесом пройде m відрізків, то Ахіллес повинен пройти ті ж m відрізків плюс ще один відрізок, який поділяв їх до початку руху. Отже, ми приходимо до рівності m = m + 1, що неможливо. Звідси випливає, що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху !!!

Отже, шлях, пройдений Ахіллесом, з одного боку, складається з нескінченної послідовності відрізків, які приймають нескінченний ряд значень, а з іншого боку, ця нескінченна послідовність, очевидно не має кінця, все ж завершилася, і завершилася вона своїм межею, що дорівнює сумі геометричної прогресії.

Труднощі, які виникають при оперуванні поняттями безперервного і нескінченного і настільки майстерно розкриваються парадоксами і софизмами Зенона, до сих пір не подолані, а розв'язання суперечностей, що містяться в них, послужило більш глибокого осмислення основ математики.

Висновок.

Про математичних софизмах можна говорити нескінченно багато, як і про математику в цілому. День у день народжуються нові парадокси, деякі з них залишаться в історії, а деякі проіснують один день. Софізми є суміш філософії і математики, яка не тільки допомагає розвивати логіку і шукати помилку в міркуваннях. Буквально згадавши, хто ж такі були софісти, можна зрозуміти, що основним завданням було осягнення філософії. Але тим не менше, в нашому сучасному світі, якщо і знаходяться люди, яким цікаві софізми, особливо математичні, то вони вивчають їх як явище тільки з боку математики, щоб поліпшити навички правильності і логічності міркувань.

Зрозуміти софізм як такої (вирішити його і знайти помилку) виходить не відразу. Потрібні певний навик і кмітливість. Що стосується мене, то деякі софізми доводилося розбирати по кілька разів, щоб дійсно в них розібратися, деякі ж навпаки, здавалися дуже простими. Розвинена логіка мислення допоможе не тільки у вирішенні тих чи інших математичних задач, але ще може стати в нагоді в житті.

Історичні відомості про софістиці і софистах допомогли мені розібратися, звідки ж все-таки почалася історія софизмов. По початку, я думала, що софізми бувають виключно математичні. Причому у вигляді конкретних завдань, але, почавши дослідження в цій області, я зрозуміла, що софістика-це ціла наука, а саме математичні софізми - це лише частина одного великого течії.

Дослідити софізми дійсно дуже цікаво і незвично. Часом сам потрапляєш на виверти софіста, на настільки бездоганність його міркувань. Перед тобою відкривається якийсь особливий світ міркувань, які воістину здаються вірними. Завдяки софизмам і парадоксів можна навчиться шукати помилки в міркуваннях інших, навчиться грамотно будувати свої міркування і логічні пояснення. Якщо є бажання, то можна стати вправним софістом, домогтися виняткової майстерності в мистецтві красномовства або просто на дозвіллі перевірити свою кмітливість.

Список літератури.

1. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математичні софізми»

Москва, «Просвещение», 2003 р.

2. Ф.Ф. Нагібін, Е.С. Канін «Математична скринька»

Москва, «Просвещение», 1988 р.

«Велика енциклопедія Кирила і Мефодія 2004р