Елементи історії математики при викладанні теми "Тригонометрія" в загальноосвітній школі

ДИПЛОМНА РОБОТА

По темі

«Елементи історії математики при викладанні теми« Тригонометрія »в загальноосвітній школі»

Вступ

Використання вчителем математики історичних відомостей не є обов'язковим при викладі матеріалу уроку. Однак, як вказує К. А. Малигін «... екскурси в історичне минуле пожвавлюють урок, дають розрядку розумової напруги, піднімають інтерес до досліджуваного матеріалу і сприяють міцному його засвоєнню» [1]. Тим більше що матеріал з історії математики досить великий і цікавий, так як розвиток математики тісно пов'язане з вирішенням нагальних завдань, що виникали в усі періоди існування цивілізації.

Розповівши про історичні причини виникнення тригонометрії, показавши, як плоди діяльності великих вчених вплинули на розвиток цієї галузі математики і на вирішення конкретних завдань, вчитель порушить у школярів інтерес до досліджуваного предмета і покаже його практичне значення. Очевидно, кожен учитель математики вважає, що використання історичних відомостей підвищує інтерес учнів, має велике світоглядне і загальнокультурний значення. І, тим не менш, вчителі вкрай рідко викладають на уроці математики історичні відомості, або використовують в системі вправ завдання з історичним змістом. Тут дається взнаки брак навчального часу, відсутність розробленої методики, бажання більше приділити увагу закріпленню.

Проблема використання історичного матеріалу на уроках математики цікавила багатьох провідних вчених, педагогів і методистів, таких як: Г. І. Глеізер, Д. Я. Стройк, Н. Я. Віленкін, Я. І. Перельман, К. А. Рибников, А . П. Юшкевич та інші. Захопити учнів, змусити їх зацікавитися досліджуваним предметом - ось найперша і головна задача використання елементів історії математики на уроках.

Метою дослідження є, по-перше, виявити чи доцільно ознайомлення учнів з історичним матеріалом при викладанні тригонометрії в загальноосвітній школі, по-друге, показати, як поєднується вивчення певних розділів програми з тригонометрії з викладенням відповідного історичного матеріалу. Для цього необхідно було розглянути сам зміст історичного матеріалу і вибрати ті його частини, які розумно використовувати на уроках тригонометрії, запропонувати форми його викладу, і визначити обсяг матеріалу, який можна надати учням для самостійного вивчення і використання на позаурочних заняттях.

Виходячи з цілей, в ході нашого дослідження, ми ставимо перед собою наступні завдання:

- виявити вікові особливості старшого шкільного віку

- розглянути поняття мотивації в процесі навчання;

- познайомитися з історико-генетичним методом в викладанні математики;

- показати історію розвитку тригонометричних понять;

- сформулювати дидактичні принципи і вимоги до відбору історико-наукового матеріалу для включення в процес навчання тригонометрії;

- розробимо зразкову планування уроків з використанням історичного матеріалу;

- розглянути форми і приклади використання історичного матеріалу на уроках геометрії і тригонометрії в середній школі;

У першому розділі дипломної роботи розглянуті психолого-педагогічні основи, які мають безпосереднє відношення до викладання тригонометрії в середній школі.

У другому розділі викладено історико-математичний матеріал, пов'язаний з виникненням і розвитком тригонометричних понять.

У третьому розділі викладені методичні особливості використання історичного матеріалу при вивченні курсу тригонометрії в загальноосвітній школі і показали приклади використання історичного матеріалу на уроках.

Завершується дипломна робота укладенням та бібліографією.

Глава 1. Психолого-педагогічні основи викладання тригонометрії в середній школі

1.1 Вікові особливості старшого шкільного віку

«Вчення виступає як вид діяльності, метою якого є придбання людиною знань, умінь і навичок» - так пише в своїх працях відомий психолог і педагог Р.С. Немов. «Навчання в школі - це організований процес. Особливості навчальної діяльності полягають у тому, що вона прямо служить засобом психологічного розвитку індивіда ». Ці слова справедливі і щодо математики, адже вчення не може бути успішним, якщо вчитель не знає психологічних особливостей своїх учнів.

Перед вчителями в усі часи стоїть питання, як зробити свої уроки цікавими, пізнавальними та розвиваючими. Як привернути увагу учнів, зробити їх не пасивними слухачами, але рівноправними учасниками освітнього процесу. Для кращого розуміння своїх учнів вчителя завжди повинні враховувати психологічні аспекти, про які йдеться нижче.

У підлітковому віці починає формуватися світогляд, як основний мотив і регулятор поведінки. Перед учителем виникає мета розвитку в учня цілісного, інтелектуально розвиненого індивіда. А при формуванні науковості світогляду необхідно пам'ятати, що воно залежить від активності самого підлітка, його самостійності в набутті знань.

Значні зміни зазнають в підлітковому віці і пізнавальні процеси. Навчальна діяльність, що включає в себе процес засвоєння знань і способів їх використання, дозволяє підліткам встановлювати ширші зв'язки між наявними і знову придбані знаннями, більш свідомо контролювати свою розумову діяльність і керувати нею. Поступово у них формується вміння самостійно оперувати припущеннями і критично оцінювати їх. Але, найчастіше, дорослі, вчителі безапеляційно відкидають наївні, односторонні, далеко ще не зрілі висновки, створюючи своєю безтактністю передумови для конфліктів і непорозумінь. Звичайно ж, таких зіткнень вчителя допускати не повинні.

Моральні і соціальні якості старшокласників формуються прискореними темпами. Цьому сприяє не тільки сензитивний період зрілості, а й нова обстановка: зміна характеру діяльності, положення в суспільстві, інтенсивність спілкування. З'являється гостре бажання висловити свою індивідуальність; у деяких молодих людей це прагнення набуває гіпертрофованих форм. Будь-яким способом їм хочеться звернути на себе підвищену увагу оточуючих. Тут можуть допомогти терпимість і зацікавлена ​​допомогу дорослих.

Далеко не останню роль у навчальній діяльності підлітка грає мотиваційний момент. Мотиви навчання можуть бути пов'язані з його результатами. У такому випадку від учнів потрібно чимале вольове зусилля як при позитивній мотивації (похвала, гарна оцінка), так і тим більше при негативній (поганий бал атестата і т.п.). Також мотиви навчання можуть міститися як в самому процесі навчальної діяльності, так і з метою навчання: прагнення розширити свій кругозір, проявити свої здібності, бажання вчитися далі і т.д. У таких випадках посилення мотивації сприятимуть проблемні методи навчання, своєчасна інформація про досягнутому і т.п.

1.2 Мотивація як двигун навчання

Сучасними дослідниками мотивація розглядається не просто як необхідна умова, але як рушійна сила, що сприяє досягненню успіху. У педагогічних посібниках «мотивація» визначається як «загальна назва для процесів, методів, засобів спонукання учнів до продуктивної пізнавальної діяльності, активного освоєння змісту освіти» [2]. У психології термін «мотивація» є пояснювальним конструктором, використовуваним для опису і пояснення причин поведінки людей, його спрямованості і механізму здійснення. Як і інтелект, мотивацію не можна спостерігати безпосередньо, але вона може бути виявлена ​​побічно на основі деяких когнітивних, поведінкових і емоційних показників [1; 7-8].

Відомий американський когнітивний психолог Роберт Стернберг, описуючи причини, що заважають людям з високим рівнем інтелекту досягати високих результатів і досягати успіху, в якості основної причини вказує на брак мотивації: «Практично в будь-який навколишнього оточення ... мотивація має не меншу роль в досягненні успіху, ніж розумові здібності »(Stenberg. 1996 року, р. 251) [1; 6].

Успішність навчання багато в чому залежить від мотивації, від того особистісного сенсу, який вчення має для учня. Мотивація навчання є проблемою, яка гостро стоїть і перед підлітками, і перед вчителями, і перед батьками. Якщо в перший клас дитина приходить допитливим, бажаючим отримати нові враження і виконувати завдання вчителя, то в міру його навчання в школі, особливо в підлітковому віці, вчителі все частіше стикаються з негативним ставленням учнів до школи, до уроків, з нудьгою, апатією, депресією або агресією. Відсутність необхідної мотивації навчання часто веде до стійкої неуспішності, яка сприяє появі відхилень в поведінці школяра [2; 27].

З усіх окремих видів людської мотивації мотивація досягнення має безпосереднє відношення до навчального процесу. Т. О. Гордєєва визначає мотивацію досягнення як мотивацію, спрямовану на можливо краще виконання будь-якого виду діяльності, орієнтованої на досягнення певного результату (так званої продуктивної діяльності) [1; 8]. Вона вказує, мотивація досягнення є надійним предиктором успішності в школі і вузі, а також успішності в бізнесі і інших професіях.

За свідченням А. Анастазі та С. Урбіно, в свою чергу посилаються на значний список англомовних робіт, має місце зростаюче визнання ролі мотивації учнів у шкільному навчанні [1; 5].

Особливий інтерес до проблематики мотивації досягнення показав, що вона є однією з фундаментальних мотивацій людини, без якої неможливо його повноцінний розвиток. У сучасному індустріальному суспільстві ситуації, пов'язані з діяльністю досягнення, переважають у навчальній і професійній діяльності. Слід зазначити, що мотив досягнення є головним «віковим» мотивом навчальної діяльності підлітків [2; 37]. Мотивація досягнення проявляється в прагненні докладати зусилля і домагатися, можливо, кращих результатів в області, яку суб'єкт вважає важливою і значущою. Як діяльності досягнення можуть виступати інтелектуальна, спортивна, будь-яка професійна, в тому числі навчальна діяльність. Мотивація досягнення має найбільше значення в активності, спрямованої на досягнення певного результату, який може бути оцінений відповідно до предметними, індивідуальними або соціальними нормами. Однак найбільш досліджена мотивація досягнення в області вирішення інтелектуальних завдань, де випробовуваними виступають головним чином школярі і студенти [1; 8-9].

Успішне виконання продуктивної діяльності вимагає не тільки розвинених здібностей, але і таких важливих мотиваційних характеристик, як інтерес до виконуваного справі, вару в свої здібності досягти успішного результату, вміння справлятися з труднощами, адекватно реагувати на невдачі і проявляти наполегливість (Dweck, 1999) [1 ; 6-7].

Вчення є одним з основних видів діяльності школярів, тому багатьма психологами досліджувалися мотиви навчальної діяльності як значущі в цей період психологічного розвитку. Всі мотиви навчання, з точки зору дослідника Л. І. Божович, поділяються на дві великі категорії [3]. Одні з них безпосередньо пов'язані зі змістом навчальної діяльності і процесом пізнання (пізнавальні); інші - з ширшими взаємовідносинами дитини з навколишнім середовищем (соціальні). Крім того, виділяють власні, внутрішні мотиви, навчальної діяльності учнів і зовнішні мотиви, мотиви-стимули. Перші пов'язані з процесами пізнання і соціальної взаємодії, а також деякими особистісними утвореннями, такими як самоповага і самооцінка. Другі із зовнішнім стимулюванням, використанням системи заохочень, покарань і т.д. [2; 28]

Оптимальний варіант функціонування мотивації досягнення включає домінування у суб'єкта в структурі мотивації інтересу до діяльності, що супроводжується задоволенням від її здійснення, а також відчуттям компетентності і контролю.У дослідженні М. Чіксентміхайі, засноване на тисячах інтерв'ю з людьми, які описують те, що робить їх щасливими, показало: найбільше щастя приносить людям не заробляння грошей або визнання (зовнішня мотивація), а діяльність, яка задовольняє їх самих і супроводжується захопленістю, коли увага людини чимось захоплено (внутрішня мотивація). Наприклад, один учень може бути сильно мотивований виконанням домашнього завдання по тому, що воно являє для нього інтерес, інший - тому, що хоче заслужити похвалу батька, третій в першу чергу орієнтується на думку вчителя або визнання з боку однолітків [1; 250-253]. Перший випадок, коли робота, виконувана учнем важлива для нього і цікава сама по собі, як ми зазначали вище, є оптимальним для продуктивності діяльності школярів.

Цікаво, що більшість психологів схиляються до думки, що зовнішня мотивація зменшує внутрішню. Регулярне тривале підкріплення (у вигляді оцінок, зауважень, системи покарань і т.д.) сприймається як зовнішній контроль і дає можливість учням зняти з себе відповідальність за те, що відбувається, що негативно позначається на внутрішній мотивації. Більш того, наявність корисливого підкріплення при наявності інтересу до діяльності зміщує акценти з змісту самої діяльності на її результат. Тому вчителю слід обов'язково включати завдання, які пов'язані з отриманням конкретного результату [2; 28].

Особливе місце серед мотивів навчальної діяльності займає пізнавальний інтерес, поява якого тісно пов'язане, по-перше, з наявністю позитивних емоцій, пов'язаних з розумовою працею, коли дитина сприймає навчання не тільки як свій обов'язок, а й як радісний приємний процес. По-друге, для розвитку пізнавального інтересу необхідна таке середовище, яка б стимулювала, допитливість дитини, давала б йому їжу для розуму, змушувала ставити питання [2; 43].

Щукіна Г. І., яка вивчала прояви пізнавального інтересу у підлітків, показала, що він як стійка риса особистості зустрічається лише у окремих учнів. При цьому розвиток пізнавального інтересу не має чітко виражених вікових градацій і закономірностей. У більшості школярів у міру навчання інтереси не стають більш стійкими, широкими, теоретичними. Можна сказати, що в старших класах аморфних інтересів виявляється більше, ніж в молодших. Винятком є ​​вибіркове ставлення до шкільних предметів, пов'язаними з професійною спрямованістю. Крім того, вона показала, що одним з ключових факторів появи і розвитку пізнавального інтересу є якість і рівень викладання, часом особиста захопленість предметом вчителя [2; 43].

Традиційно успішну навчальну діяльність пов'язує з наявністю у школярів внутрішньої пізнавальної мотивацією і пізнавального інтересу. Почасти це так, на наявність у учня тільки пізнавального інтересу без будь-яких соціальних мотивів може привести до відсутності у нього почуття відповідальності за вчення. Часом це виражається в прагненні до «чистого» творчості, зневага до відпрацювання навчальних навичок, виконання технічних підрахунків, правильному оформленню вирішення завдань, а також в неуважності повторення пройденого, що не виконанні домашніх завдань і т.д. Тому для успішної навчальної діяльності також необхідний баланс внутрішніх соціальних і пізнавальних мотивів. При цьому грамотно побудована система зовнішніх стимулів може сприяти появі в перспективі внутрішньої мотивації [2; 29-30].

Виходячи з усього вище викладеного, ми можемо говорити про те, що в ході навчального процесу, мотиваційна сфера учнів має велике значення і безпосередньо впливає на діяльність школярів. Таким чином, завданням вчителя, крім реалізації основних цілей навчання, є збільшення і стимулювання інтересу учнів до досліджуваного предмета.

Як відомо, використання на уроках елементів історії математики підвищує інтерес учнів, має велике світоглядне і загальнокультурний значення. Знайомлячи учнів з ними, ми як би коротко повторюємо шлях розвитку математики як науки і її зв'язок з історією розвитку цивілізації, що, безсумнівно, зацікавить учнів і зробить більш мотивованим процес навчання.

1.3 Про історико-генетичному методі

Питання використання елементів історії математики в викладанні розглядалися багатьма відомими вченими-математиками і діячами в області математичної освіти. Серед найбільш відомих досліджень на цю тему, що включають відбір історико-математичного матеріалу і рекомендації щодо його використання на уроках математики в школі, можна відзначити роботи:

У цих, як і в більшості робіт, автори сходяться на думці, якщо вчитель знає історію математики, знає як відбувалося становлення і розвиток основних математичних понять та ідей, то він буде краще розуміти внутрішню логіку навчальних тем, зможе дидактично більш грамотно вводити математичні поняття. Учитель не тільки повинен знати, як відбувався розвиток основних математичних понять та ідей, а й розуміти, що учні в своєму навчанні коротко повторюють цей шлях і стикаються з тими ж труднощами, з якими стикалися вчені, які стояли біля витоків формування того чи іншого математичного поняття. Вчителю необхідно не тільки бути знайомим з історією науки, але паралельно, нерозривно з викладеним матеріалом, звертати увагу на те, які методичні ідеї і знахідки підказує йому історія науки, слідувати з історико-генетичному метод.

В основі історико-генетичного методу лежить таке спостереження: вивчаючи математику, учні коротко повторюють шлях людства, який воно пройшло, добуваючи математичні знання. Якщо ми знаємо цей шлях, знаємо історію математики, то можемо, використовуючи це знання, координувати навчальний процес, роблячи його більш ефективним, а математику, їх підносили учням, більш зрозумілою. Пояснимо цю ідею таким висловлюванням американського професора М. Клайна: «Немає жодного сумніву, що труднощі, які зустріли великі математики, є тими ж каменями спотикання, які зустрічають студенти, і що ніякі спроби змастити ці труднощі за допомогою логічної словесності не досягнуть мети. І якщо потрібні були 1000 років, щоб першокласні математики дісталися до поняття негативних чисел, і треба було ще 1000 років, щоб математики визнали негативні числа, то можна бути впевненим, що учні випробують труднощі з негативними числами. Більше того, учням доведеться подолати ці труднощі майже тим же шляхом, яким це подолали математики, поступово звикаючи до нових понять, оперуючи з ними і використовуючи все інтуїтивні засоби, які вчитель зможе їм привести »([10] с. 7).

Для того щоб краще пояснити суть історико-генетичного методу, розглянемо коротко основні етапи його становлення. Початком його проникнення в викладання математики можна лічений, поява в 1685 р «Історичного і практичного трактату з алгебри» Дж. Валліса. Історичний підхід до викладу предмета і методу алгебри, реалізований в трактаті, викликав у читачів велику зацікавленість і тим самим сприяв прискореному розуміння сенсу викладається, логіки висновків і доказів. Таким чином, вперше було помічено, що якщо до математичних понять, термінів і символів підійти з позиції історичного розвитку, то вони перестануть здаватися штучними і відірваними від життя. Чи стане, видно їх глибокий життєвий сенс, їх природність і необхідність. «Трактат з алгебри» Валліса можна вважати першим курсом алгебри, побудованому на історико-генетичних засадах.

У XVIII ст., Тобто через майже двісті років, французький математик А.К. Клеро, слідуючи за педагогічної ідеєю Валліса, приділив велику увагу історичному методу в процесі навчання математики. Він вважав дуже продуктивною методику, яка вчить шукати і робити відкриття, тому що при такому викладі математичних тверджень вказується, яким чином люди прийшли до відкриття.

В середині XIX століття англієць В.Г. Спенсер опублікував книгу «Геометрія шляхом винаходи», в якій викладав для дітей геометрію не звичайним дидактичним способом, а знайомив читачів з геометричними уявленнями, поступово і як би тільки готуючи до її вивчення. Така методика також дала позитивні результати.

В кінці XIX - початку XX століть історико-генетичний метод став широко популяризується діячами математичної освіти. У 1904 р французький математик А. Пуанкаре писав: «Зоологи вважають, що за короткий період розвитку ембріона тварини він відтворює історію своїх попередників всіх епох. Здається, щось же саме відбувається в розвитку розуму. Завдання виховання - дати розуму дитини пройти те, що зазнали його предки, пройти швидко певні етапи, але не опустити жодного з них. Для досягнення цієї мети історія науки повинна служити поводирем ».

У Росії одним з активних пропагандистів історико-генетичного методу був російський дослідник історії математики і математичної освіти В.В. Бобинін. Наведемо цитату з його роботи 1886 г. «Філософське, наукове і педагогічне значення історії математики»: «Розумовий розвиток молодих поколінь керується тими ж законами і внаслідок цього відбувається в істотних рисах ті ж самі фази розвитку, які мали місце у відповідних щаблях розумового розвитку всього людства ... викладання кожної науки має йти тим же шляхом, яким йшла при своєму розвитку сама наука ... »([10] с. 8). Такий метод В.В. Бобинін називає генетичним, розуміючи під цим «метод, що розвиває в викладанні положення і висновки науки саме таким чином, як вони розвивалися в дійсності» ([10] с. 8). В якості основного педагогічного значення історії математики Бобинін вказує саме на значення її для генетичного методу викладання. Фактично про те ж говорить і російський психолог і педагог П.Ф. Каптерев: «Найбільш зручна в педагогічному відношенні форма викладу є генетична, коли повідомляється історія походження знання, показується, як знання виникло і розвивалося» ([10] с. 8).

Певного роду повторюваність загального шляху розумового розвитку людства у формуванні індивідуальної свідомості, яку на досвіді власної педагогічної діяльності помічали багато викладачів XIX ст., В середині XX століття стала предметом психологічних досліджень. Психолог В.В. Давидов вважає, що учні привласнюють культурні форми в процесі навчальної діяльності, здійснюючи при цьому розумові дії, адекватні тим, за допомогою яких історично вироблялися продукти духовної культури, тобто школярі як би відтворюють реальний процес створення людьми понять, образів, цінностей і норм. Звідси В.В. Давидов робить важливий висновок про те, що навчання в школі всіх предметах необхідно будувати так, щоб воно «в стислій скороченій формі відтворювало дійсний історичний процес народження і розвитку ... знань» ([11] с. 152). Таким чином, історико-генетичний метод дійсно може відігравати велику роль у викладанні математики, так як саме він дозволяє учням пройти той шлях, який проходило людство, добуваючи математичні знання.

Історико-генетичний метод спонукає кожного разу доводити введення того чи іншого поняття, розповідаючи, які завдання практики призвели до його відкриття, і як воно вперше використовувалося. З його допомогою вчитель може передбачити труднощі, що виникають при засвоєнні учнями шкільної програми і долати їх, використовуючи історичний досвід.

Історико-генетичний метод здатний підказати вчителю рішення і деяких чисто методичних проблем, наприклад, як краще спланувати вивчення даного навчального матеріалу, який методичної розробки віддати перевагу, в якій послідовності вивчати ті чи інші теми. «Взагалі, ми можемо очікувати більший успіх роблячи те, що нам підказує генетичний принцип, ніж слідуючи чисто формальної концепції математики» ([12] с.91). Цей метод може надати вчителеві велику допомогу при реалізації в навчальному процесі евристичних прийомів: щоб підвести учнів до відкриття математичного факту, учитель повинен коротко пройти разом з ними той шлях, який привів людей до встановлення цього факту.

Однак викладачі прекрасно розуміють, що спроба відтворити весь історичний шлях пізнання математичної істини, повторюючи всі деталі помилок і помилок першовідкривачів, призведе до відмови від тих переваг, які надають дидактиці сучасні узагальнюючі ідеї, концепції і методи науки, і, як наслідок, до руйнування логічної структури курсу.Тому історико-генетичному методу протиставляється інший метод викладання - логічний.

При логічному викладі не повинно бути нічого зайвого, ніяких порушують стрункість предмета історичних випадковостей. Однак і під час викладання стало очевидним, що логічний метод також не позбавлений недоліків. У своїй строго логічній формі, без вказівок на походження понять і виходу теорії в практику, математична дисципліна приймає занадто штучний характер, «... ми бачимо, як питання можуть бути дозволені, але перестаємо розуміти, як і чому вони були поставлені» ([ 10] с. 8). З цієї причини логічне виклад не зацікавлює навіть здібних учнів так, як могло б.

Ось чому вже багато років не згасає інтерес до історико-генетичному методу. Однак очевидно, що цей метод ефективний лише в тому випадку, коли в процесі викладу наукових понять правильно знайдено співвідношення логічного та історичного підходу у викладанні. Говорячи про історико-генетичному методі, ми, безумовно, не маємо на увазі його крайні форми - повторення в викладанні розвитку математичного знання з усіма нюансами і тонкощами. Для методично правильної організації навчання вчителю, перш за все, необхідно знати загальні закони розвитку математичної науки, шляхи формування і становлення математичних понять та ідей.

В кінці XIX ст. історія математики як наука лише зароджувалася і тому не могла вирішити поставлених перед нею завдань. Тільки в наш час, коли, завдяки дослідженням таких істориків математики, як Г.Г. Цейт, Б.Л. Ван-дер-Варден, Г. Вілейтнер, І.Я. Депман, А.П. Юшкевич, Б.А. Розенфельда і ін., Накопичений і систематизований колосальний історико-математичний матеріал, стало можливим на основі цих даних робити узагальнення, говорити про загальні закони розвитку математичного знання, простежувати шляхи формування математичних понять від їх зародження до сучасного стану.

Історичні довідки і відомості, евристичні ідеї висновків формул і доказів теорем, яскраві нескладні приклади, безсумнівно, зацікавлять учнів і зроблять більш емоційними уроки математики, і головне, дозволять їм в разі потреби навіть через кілька років знову вивести вже забуту формулу або теорему. Відзначимо також, що основні етапи евристичного міркування, що реалізується на уроці, можуть бути підказані вчителю даними історії математики і здійснені за допомогою історико-генетичного методу.

Історико-генетичний метод викладання не можна зводити тільки до використання окремих історико-математичних відомостей на уроках математики. Реалізуючи цей метод у своїй роботі, вчитель повторює разом з учнями шлях розвитку науки, веде їх по шляху нових відкриттів. Окремі історико-математичні відомості, які він використовує, - це лише вершина айсберга, яким є метод. Зрозуміло, вчителю необхідно знати і окремі приватні відомості, які він може безпосередньо розповідати на уроці. Але якщо вчитель знає основні етапи розвитку математичних понять та ідей і знає конкретно, який фрагмент цих відомостей він хоче викласти учням, то підібрати потрібний історико-математичний матеріал йому буде нескладно.

Історико-математичні відомості, викладені вчителем, можуть бути самими різними і нести найрізноманітнішу смислове навантаження, однак найбільш ефективним їх використання буде лише в тому випадку, якщо вони викладаються в системі, єдиним методом і якщо їх використання дозволяє зробити виклад матеріалу більш послідовним, зрозумілим , цілісним і цікавим.

викладання тригонометрія школа математика

Глава 2. Історія розвитку тригонометричних понять

Термін «тригонометрія» дослівно означає «вимір трикутників». Його ввів у вживання в 1595г. німецький математик і богослов Варфоломій Пітіск, автор підручника з тригонометрії і тригонометричних таблиць. Тригонометрія - розділ математики, який вивчає залежності між кутами і сторонами трикутників, а також властивості тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканс. До кінця 17 століття майже всі ці функції були вже, по суті, відомі. Правда, самого поняття тригонометричних функцій, як і їх позначень, тоді ще не існувало. Замість них говорили про довжинах деяких хорд, дотичних, січних в окружності певного радіуса. У тригонометрії вивчалися три види співвідношень: 1) між самими тригонометричними функціями; 2) між елементами плоского трикутника (тригонометрія на площині); 3) між елементами сферичного трикутника, т. Е. Фігури, висікається на сфері трьома площинами, що проходять через її центр (сферична тригонометрія).

Вивчення властивостей тригонометричних функцій почалося при дослідженні властивостей сферичної геометрії. Стародавні астрономи, спостерігаючи за рухом небесних світил, обробляли вимірювання, необхідні для ведення календаря, визначення час початку сівби і збору врожаю і дат релігійних свят. За зіркам визначався курс корабля в море або напрямок руху каравану в пустелі. Спостереження за зоряним небом з незапам'ятних часів вели і астрологи. Природно, всі виміри, пов'язані розташуванням світил на небосхилі, є непрямі. Прямі - здійснювалися тільки на поверхні Землі. Але і тут далеко не завжди вдавалося безпосередньо визначити відстань між якимись пунктами. І тоді знову вдавалися до непрямих вимірах. Наприклад, обчислювали висоту дерева або розміри острова в море, порівнюючи довжину його тіні з довжиною тіні від якогось жердини, висота якого була відома. Подібні завдання зводяться до аналізу трикутника, в якому одні його елементи виражають через інші, а оскільки зірки і планети представлялися точками на небесній сфер то спочатку стала розвиватися саме сферична тригонометрія. Її вважали розділом астрономії.

Уривчасті відомості з тригонометрії збереглися на клинописних табличках Стародавнього Вавилона. Астрономи і астрологи Межиріччя навчилися передбачати положення Місяця і Сонця, досягнувши в цьому великих успіхів. Від них ми успадкували систему вимірювання кутів в градусах, хвилинах і секундах, засновану на секундах в прийнятій ними Шістдесяткова системі числення. Перші по-справжньому важливі досягнення в математиці, зокрема в тригонометрії, належать давньогрецьким ученим.

2.1 Про тригонометричних таблицях

У Стародавній Греції тригонометрія як частина астрономії досягла значного розвитку. Давньогрецькі вчені вперше поставили перед собою завдання вирішення прямокутного трикутника, т. Е. Визначення його елементів за двома даними елементів, з яких хоча б один - сторона трикутника. Для вирішення цього завдання спочатку складали таблиці довжин хорд, що відповідають різним центральним кутах кола постійного радіусу. Перші тригонометричні таблиці хорд були складені астрономом-математиком Гиппархом з Нікеї (II ст. До н. Е.). Гіппарх був основоположником додатки математики до географії, крім того, він склав зоряний каталог, досить точно визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні координати - широту і довготу. Твори Гиппарха до нас не дійшли. Але багато хто з них увійшли в «Альмагест» - знамениту книжку давньогрецького астронома Клавдія Птолемея.

Альмагест - класичне твір, в якому викладена антична теорія руху небесних тіл, геоцентрична система світу. Ця система проіснувала до XVI ст., Коли з'явилися праці Н. Коперника з викладом нової геліоцентричної системи світу. «Альмагест» містить елементи прямолінійної і сферичної тригонометрії, опис астрономічних інструментів, зоряний каталог таблиць хорд і ін. Таблиця хорд Птолемея складена в Шістдесяткова системі числення через півградуса від 0 до 180 ° і грала таку ж роль, як таблиця синусів (т. Е. полухорд), так як синус є половина хорди окружності одиничного радіуса, що стягує дугу, відповідну подвійному кутку.

Таблиці синусів були введені індійськими астрономами, які розглядали і лінію косинуса. Техніка тригонометричних обчислень (які застосовувались для вирішення прямокутних трикутників) отримала значний розвиток в Індії. Так, для синуса 3 ° 45 'Бхаськара в своїх таблицях вказує значення яке дає сім вірних десяткових знаків. Подальшого розвитку тригонометричні таблиці досягли в працях вчених країн ісламу, які ввели поняття лінії тангенса. Абу-л-Вафа (X ст.) Користувався також величиною, зворотної косинусу (Секанс) і синусу (косеканс), і склав таблицю синусів через кожні 10 '. Найточніші таблиці на початку XV ст. були складені ал-Каші. Великий точності таблиці тригонометричних функцій склав Региомонтан (1436-1476) та інші європейські вчені XVI-XVIII ст.

У Росії перші тригонометричні таблиці були видані в 1703 р під назвою «Таблиці логарифмів, синусів і тангенсів до навчання мудролюбівих ретельний». У виданні цих таблиць брав участь Л. Ф. Магніцький.

2.2 Про тригонометричних функціях і про розвиток тригонометрії

Індійські вчені поклали початок вченню про тригонометричні величинах, які вони розглядали в межах першої чверті кола. Синус і косинус зустрічаються в індійських астрономічних творах вже в IV - V ст. Замінивши хорду синусом, індійці спочатку називали синус «ардхаджіва», т. Е. Половина хорди ( «джива» - хорда, тятива лука), а пізніше просто «джива». Це слово було, як вважають, спотворено арабами в «джайб», що означає по-арабськи пазуха, опуклість. Слово «джайб» було переведено в XII в. на латинь відповідним словом sinus. Косинус індійці називали «котіджіва», тобто синус залишку (до чверті кола). У XV в. Региомонтан, як і інші математики, застосовував для поняття «косинус дуги (х)» латинський термін sinus complementi, тобто синус доповнення, маючи на увазі . Від перестановки цих слів і скорочення одного з них (cosinus) утворився термін «косинус», зустрічається в 1620г. у англійського астронома Е. Гунтера, винахідника логарифмічною лінійки.

У IX - X ст. вчені країн ісламу (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вафа і ін.) ввели нові тригонометричні величини: тангенс і котангенс, секанс і косеканс. Зокрема, ал-Баттани встановив, що в прямокутному трикутнику гострий кут можна визначити відношенням одного катета до іншого. Походження назв двох тригонометричних функцій, тангенса і секанса (терміни, введені в 1583 році німецьким математиком Т. Фінком), пов'язане з геометричним їх поданням у вигляді відрізків прямих. Латинське слово tangens означає що стосується (відрізок дотичної), secans - січний (відрізок січної). Терміни «котангенс» і «косеканс» були утворені в середні століття за аналогією з терміном «косинус». Всі три терміни увійшли до загального вжитку в першій половині XVII ст. Сферична тригонометрія, безпосередньо застосовувалася в астрономії, почала розвиватися раніше плоскої як частина астрономії і самостійно не існувала. Видатний вчений Насир ад-Дін ат-Тусі (1201 - 1274), уродженець іранського міста Туc, перший відкрив шлях до відокремлення тригонометрії від астрономії і виділенню її в самостійну дисципліну. Його праця «Кітаб аш-шакл ал-кита» (книга про фігуру з січних), званий також «Трактат про повний чотирикутнику», є першим в світі твором, спеціально присвяченим тригонометрії. У ньому досить повно викладено те, що було встановлено раніше, а також окремі дослідження самого автора. Тригонометричний працю ат-Тусі, як вважають деякі вчені, вплинув на європейських математиків, зокрема на Региомонтана.

У XV в. Региомонтан зіграв в Європі приблизно ту ж роль, яку грав Насир ад-Дін в країнах ісламу за двісті років до нього. Праця Региомонтана «П'ять книг про трикутниках всіх видів» в свою чергу - мав велике значення для подальшого розвитку тригонометрії. Інші роботи в області тригонометрії належать Копернику, Вієта, Кеплеру. Таким чином, процес накопичення тригонометричних знань привів до того, що, починаючи приблизно з XIII в., Накопичений матеріал став піддаватися систематизації, складаючи окрему, все більш самостійну область математики - тригонометрію. Принципово новий етап у розвитку тригонометрії полягав у встановленні зв'язків цієї науки з алгеброю. Початок цьому було покладено в кінці XVI ст. Франсуа Виетом (1540-1603). Виет, французький математик, відомий головним чином своїми відкриттями в алгебрі, випустив в 1579 р в Парижі великі математичні таблиці ( «Canon mathmaticus»), що містять головним чином тригонометричні таблиці, в яких радіус кола брала за 100 000. Уже в «Каноні» і особливо в XIX чолі «Восьмий книги» Виет формулює без доказів всю систему тверджень сферичної тригонометрії. Зазначені теореми косинусів Виет формулює в пропозиціях 15 і 16 цього розділу в такий спосіб:

«XV.Якщо в будь-якому сферичному трикутнику дано три сторони, то можна знайти і кути. »

«XVI. Якщо в будь-якому сферичному трикутнику дано три кути, то можна знайти боку. »

Повна аналогія між цими двома пропозиціями вказує на те, що Вієта була абсолютно зрозуміла зв'язок між обома теоремами косинусів і, цілком можливо, він знав, що друга з них може бути отримана з першої за допомогою полярного трикутника. Він вивів серед багатьох інших тригонометричних формул, вирази для синусів і косинусів кратних дуг. З тих пір встановлення зв'язків між тригонометрією і алгеброю за допомогою взаємних інтерпретацій міцно увійшло в практику математичних досліджень.

Наступний етап збагачення змісту тригонометрії полягав у встановленні більш загальної трактування тригонометричних функцій на базі математичного аналізу. Зміст тригонометрії, так само як і засоби її аналітичного виразу, досягли стану, близького до сучасного, більш 200 років тому, у другій половині XVIII ст. Сутність вироблених в той час перетворень полягала в радикальну перебудову тригонометрії на алгебраїчних-аналітичної основі, що дозволяє їй стати важливою частиною математичного аналізу. Вирішальна роль в цьому належить Леонарда Ейлера (1707-1783).

Свій сучасний вигляд сферична тригонометрія, як і тригонометрія, прийняла в працях великого Леонарда Ейлера, уродженця Базеля, який працював в Петербурзі та Берліні. Якщо до Ейлера тригонометрія мала справу зі значеннями тригонометричних функцій, то тригонометрія Ейлера має справу з тригонометричними функціями, які він пов'язав з допомогою відомої формули, що носить його ім'я, з експоненційної функцією завдяки цьому з тригонометричних формул зник sinus totus повний (найбільший) синус, т . е. радіус кола, місце якого в цих формулах тепер зайняла одиниця. Він створив тригонометрію як науку про функції, дав їй аналітичний вираз.

Ейлера належить думка розглядати тригонометричні функції як безмірні числа, називаючи їх загальним терміном: «трансцендентні кількості, що виходять з кола». Ейлер ввів в тригонометрію символіку, практично збігається зі звичною для нас, отримав ряд нових співвідношень, встановив зв'язок тригонометричних функцій з показовими, дав правило знаків функцій для всіх чвертей, отримав узагальнену формулу приведення і звільнив тригонометрію від багатьох помилок, які допускалися майже у всіх європейських підручниках математики (тупі кути не мають функцій і т.п.). Тим самим в розвиток тригонометрії було зроблено дуже важливий крок. Тригонометричні функції виявилися просто одним з класів аналітичних функцій.

Приблизно в той же час, в 1770 р, з'явився і втримався до нашого часу термін «тригонометричні функції». Його ввів Г.С. Клюгель в роботі «Аналітична тригонометрія» Ці функції відразу отримали широке застосування і стали важливою частиною апарату математичного аналізу. Майже одночасно тригонометрія стала застосовуватися в традиційній області її використання, в геометрії. Таким чином, до XIX в. тригонометрія, не втрачаючи теоретичної цілісності, придбала різноманітні інтерпретації, проникла в багато розділи математики.

У сучасній структурі математичних наук тригонометрія визначається як та їх частина, де досліджують один з класів аналітичних функцій, які називаються тригонометричними, а також їх застосування. Ці функції найчастіше вводяться за допомогою спеціальної конструкції - породжує кола. В якості своїх аргументів вони можуть мати як дійсні, так і комплексні величини, що надає їм високу ступінь спільності. Їх специфічні властивості: періодичність, парність або непарність і ін. Дозволяють з допомогою формул (наприклад, формул приведення) істотно спрощувати і полегшувати операції з ними.

2.3 Історія викладання тригонометрії в школі

Проблема викладання тригонометрії, як і математики в цілому, могла бути вирішена лише за умови освоєння досягнень світової математичної науки. У Росії цього чимало сприяв Л. Ейлер, будучи почесним членом Санкт-Петербурзької Академії Наук. Тригонометричні дослідження Ейлера стали основою першого російського підручника з тригонометрії, яким була книга М.Є. Головіна «Плоска і сферична тригонометрія з алгебраїчними доказами» (1789р.).

Однак згідно з програмами 1804р., Які своєю назвою «Математика чиста і прикладна, і фізика» підкреслювали напрямок викладання, перед тригонометрією ставилася певна мета - рішення трикутників. Ярим противником формальної школи був М.В. Остроградський. У своєму конспекті з тригонометрії він виступає як прихильник визначення тригонометричних функцій на першому етапі їх вивчення як відносини сторін в прямокутному трикутнику, але з наступним узагальненням їх визначення і поширенням його на кути будь-якої величини.

Реформи графа Д. Толстого (див. Додаток) відображаються і на викладі тригонометрії. 3-е видання підручника Ф. Семашко з'являється в 1886 р, в момент світанку «толстовської» школи. У передмові автор пише: «В даний час програми всіх навчальних закладів вимагають розгляду тригонометричних величин з кола; згідно з цими програмами я переробив теоретичну частину науки ». Комісія викладачів середніх шкіл висловилася з цього питання наступним чином:

«1. В курсі тригонометрії необхідно вивчати теорію кругових функцій із застосуванням її до вирішення трикутників; ні в якому разі не обмежувати курс рішенням трикутників.

2. Додатки тригонометрії до геодезії не брати до уваги необхідним ».

Міністерство народної освіти дуже швидко відгукнулося на цю постанову. Але, таким чином, тригонометрія вступила на шлях формального викладу, яке характеризується наступними особливостями: відсутністю пропедевтичного курсу; визначенням тригонометричних функцій як відносин «тригонометричних ліній» до радіусу; недостатнім використанням поняття функціональної залежності і, зокрема, вивченням змін тригонометричних функцій в без застосування їх графіків незадовільним розвитком теорії функцій.

Під впливом громадської думки в 1906 р змінена програма курсу тригонометрії, основна ідея якої використовується і в наші дні. Тригонометрія була розділена на два концентра. Перший концентр (6 кл.) Містив матеріал, необхідний для вирішення прямокутних і косокутних трикутників за допомогою таблиць тригонометричних величин. Другий концентр (7 кл.) Давав теорію гоніометричний функцій (включаючи поняття про зворотні функції), тригонометричні рівняння і нерівності, необхідні для наближеного обчислення значень тригонометричних функцій.

У зв'язку з побудовою пропедевтичного курсу переглядається питання про визначення тригонометричних функцій. На першому етапі вводяться визначення синуса, косинуса і тангенса через сторони прямокутного трикутника. У другій частині широко використовуються графіки тригонометричних функцій, детально розглядається питання про обчислення наближених значень функцій і про складання таблиць. Таким чином, викладання тригонометрії набувало новий напрямок, теоретично більш обгрунтоване і розраховане на більш широке використання додатків.

В даний час тригонометрію вивчають в старших класах школи. Матеріал відповідно розділений на три частини, які вивчаються в різні періоди часу навчання. Вперше тригонометричні вирази з'являються в курсі планіметрії, після теореми Піфагора або безпосередньо перед нею. Використовуються вони переважно для вирішення плоских трикутників. При цьому відпрацьовуються початкові навички роботи з таблицями тригонометричних функцій. Учні засвоюють визначення синуса, косинуса і тангенса гострого кута.

Вдруге тригонометричні функції визначаються за допомогою виробляє кола. Поступово переходять до розгляду тригонометричних функцій будь-якого аргументу, вираженого в радіанах, і співвідношень між ними. Школярів навчають будувати графіки функцій, розглядаються деякі властивості.

У третій частині вивчаються рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей. Розглядається додаток тригонометричних функцій у фізиці при вивченні гармонійних коливаннях.

Глава 3. Використання історико-наукового матеріалу при викладанні тригонометрії

3.1 Форми використання історичного матеріалу при викладанні на уроках

Говорячи про форми викладу учням історичного матеріалу, слід зазначити, що немає і не може бути єдиного правила, керуючись, яким можна було б ознайомити з елементами історії математики учнів різного віку і класів. Форма викладу учням історичного матеріалу в школі, в першу чергу, залежить від вікових психологічних особливостей учнів. Основна форма введення історичного матеріалу на уроках математики є повідомлення про історичні відомості. Чи не на кожному уроці, але все ж досить часто і систематично слід робити історичні відступу і порівняння, а також наводити приклади вирішення історичних завдань.

Необхідно згадка про те, що прийоми рішення трикутників, звичайно без відповідних понять і назв, зустрічалися вже в найдавніших цивілізаціях. Як приклади тут можна наводити завдання, пов'язані з сонячним годинником та гомонами. Наведемо варіант пояснення цих завдань на уроці.

«Учні, історично тригонометрія спочатку була найтісніше пов'язана з астрономією, в яку довгий час входила в якості самостійного розділу. Завдання, тепер відносяться до геометрії, зустрічаються досить рано в математиці різних цивілізацій. Наприклад, у Вавилоні не пізніше другого століття до н.е. вирішувалася, наступне завдання: Обчислити довжину хорди S кола, виходячи з величини діаметра d і висоти а сегмента, відсіченого цієї хордою (рис.1). Завдання такого типу були пов'язані з використанням сонячних годин, основним елементом яких був так званий гномон. При вирішенні цього завдання використовували співвідношення сторін прямокутного трикутника, пізніше отримало назву теореми Піфагора:

Стародавні вавілоняни вміли обчислювати висоту предмета за відомою довжині його тіні. І в Єгипті і в Вавилоні користувалися гномоном для спостереження за рухом Сонця. Гномон - це вертикальний шест, який встановлювали на рівній горизонтальній площадці. Довжина тіні, що відкидається шостому, залежить від положення сонця і змінюється протягом дня. Найдовшою тінь буде в момент сходу сонця. Опівдні, коли довжина тіні найменша, її напрямок збігається з напрямком істинного меридіана. Використовуючи гномон, в давнину вирішували багато практичні завдання. Однією з них, була наступна: якщо L-довжина гномона, то по довжині l, відкидаємо їм в даний момент, визначити кутову висоту h сонця над горизонтом.

По довжині тіні визначали точний час. Фіксували лінію, що відкидається кінцем гномона протягом дня, потім ділили її на дванадцять рівних частин, отримували денні години. Оскільки довжина лінії тіні змінювалася залежно від тривалості світлового дня, то в різні пори року була різна величина години. Так, зимовий час, був коротший річного. Вивчаючи лінію тіні, люди навчилися визначати момент сонцестояння, знаходити довжину сонячного року і вирішувати інші практичні завдання. »

Учитель повинен узгодити обсяг історичних відомостей з матеріалом уроку, він не повинен перевантажувати урок, відволікати учнів від досліджуваної теми. Викладач математики на своїх уроках зможе давати учням більш поглиблені і систематичні знання про розвиток досліджуваних понять.

Історія тригонометрії в набагато більшому обсязі може викладатися на позакласних заняттях.. Форми позакласної роботи можуть бути найрізноманітніші: факультативні заняття, математичні гуртки, заняття за рішенням історичних завдань, доповіді, як самих учнів, так і вчителя, математичні вечора і вікторини, випуск стінних газет, ведення історичного календаря і т.п .. Слід зазначити , що при заняттях в математичному гуртку учнів зможуть підготувати самостійні виступи лише з тих питань історії, які пов'язані з вивченням приватних питань математики, а не стосуються більш широких, узагальнюючих тем. Учні під керівництвом викладача можуть розробити доповіді і підготувати виступи про діяльність будь-якого математика, або ж, попередньо утворивши групу з кількох людей можуть підготувати виступ, освітивши ширші теми, такі як «історія вимірювання кутів і дуг», «Тригонометричні функції в Індії »,« Тригонометрія - автономна гілка математики »і т.д ..

Досить цікавим для учнів може стати участь у створенні шкільної математичної стіннівки. Завданням створення в школі математичної газети є загальне підвищення математичної культури в школі. На сторінках газети можуть знайти своє місце невеликі статті з питань математики, що виходять за рамки шкільної програми; зразки найбільш цікавих в методичному відношенні завдань; історичні довідки, історичні завдання; біографії видатних сучасних або жили раніше математиків; математичні софізми і парадокси; та інше. Таким чином, газета може в значній мірі відображати інтереси учнів, зокрема з історії математики.

Необхідно прищепити учням уміння працювати з навчальною, довідковою та популярною літературою, а також шукати необхідну інформацію в Інтернеті. На перших порах можливо тільки знайомство з найцікавішими завданнями або математичними фактами, що мають своє історичне значення, в подальшому зможуть розробляти більш серйозні питання, готувати розгорнуті доповіді та повідомлення, самостійно шукати і готувати для них матеріал.

3.2 Основні принципи і вимоги до відбору історико-наукового матеріалу для включення в процес навчання математики

Розглянемо принципи відбору і конкретні вимоги, що пред'являються до історико-науковому матеріалу.

Серед принципів відбору історико-наукового матеріалу для включення в зміст освіти Л.Я. Зоріна [12] називає такі:

- створення мотивації до пізнання. Історико-науковий матеріал залучається для створення учнів мотивації, переконаності в необхідності нових знань;

- формування наукового світогляду. Історико-науковий матеріал залучається, щоб переконати учнів в пізнаваності світу; показати еволюцію ідей і понять, що проходять через всю науку;

- розкрити кризові ситуації в науці, показати, як вони виникають, як, долаються;

- формування наукового мислення в процесі навчання. Історико-науковий матеріал необхідний, щоб проілюструвати новий етап, в науковому мисленні, пов'язаний з введенням нового методу дослідження, нового методу міркувань, познайомити учнів з історією так званих випадкових відкриттів, історією, що не відбулися відкриттів; дати уявлення про загальні шуканнях, прагненнях, і особливо, помилках, через які людині потрібно пройти по шляху до істини;

- формування творчого мислення в процесі навчання. Історико-науковий матеріал допомагає розкрити, витлумачити виникнення наукових проблем, які зробили корінні зміни в подальший розвиток світу науки, хід вирішення проблеми, методу вирішення проблеми;

- формування моральних якостей учнів. Історико-науковий матеріал допомагає розкрити учням необхідні якості творчої особистості.

Розглянемо конкретні правила відбору історико-наукового матеріалу для використання його в процесі навчання. Виділяються наступні вимоги:

1) Органічне включення історико-наукового матеріал в курс математики, тобто історико-науковий матеріал залучається в залежності від мети і змісту досліджуваного питання, що вимагає використання історичних відомостей [13];

2) Цілеспрямованість у викладі історико-наукового матеріалу в курсі математики, його використання відповідати цілям і інтересам успішного вивчення навчального матеріалу. Інакше кажучи, історичні відомості не повинні бути використані самі по собі, а повинні підкорятися навчальної функції, яка служить домінантою в процесі навчання [14].

3) Доступність у викладі історико-наукового матеріалу в курсі математики. При повідомленні історико-наукового матеріалу треба пам'ятати, що загальне абстрактне дається завжди важче, ніж приватна і наочне, і вводити це загальне і абстрактне лише поступово, обережно, не обтяжуючи учнів непосильним матеріалом [14].

4) Емоційність у викладі історико-наукового матеріалу в математиці. Емоційний виклад дозволить стимулювати пізнавальну діяльність школяра.

Наведемо зразкову планування історичного матеріалу.

Тематичне планування За підручником А.Г. Мордкович

Глава 1. Тригонометричні функції (28 годин)

На основі наведеного планування наведемо приклади конспектів уроку з використанням елементів історії математики при викладанні тригонометрії за підручником Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл.

Конспект уроку з алгебри, 10 клас.

Тема уроку: «Введення. Довжина дуги кола ».

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.

Вид уроку: бесіда, практична робота.

Мета навчання (для учнів): вивчити і закріпити поняття числової окружності.

Мета: повторити геометричний матеріал про обчислення довжин дуг кіл; ввести поняття числової окружності.

Триєдині дидактичні цілі уроку:

· Освітня - повторити геометричний матеріал про обчислення довжин дуг кіл, ознайомити учнів з новою математичною моделлю - одиничної колом, ввести поняття - одиничне коло, чверті кола, відкриті дуги.

· Розвиваюча - розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати.

· Виховна - виховувати в учнів інтерес до вивчення математики, розвивати культуру усного та писемного математичної мови.

Технологія організації проведення навчального заняття:

1. Підготовчий етап;

2. Проведення заняття;

3. Підбиття підсумків.

Алгоритм проведення навчального заняття:

1. організаційний момент;

2. постановка цілей уроку;

3. усне повторення;

4. вивчення нового матеріалу;

5. підведення підсумків;

6. домашнє завдання.

Обгрунтування вибору методів, засобів і форм навчання:

Оптимізувати навчання шляхом розумного поєднання і співвідношення методів, засобів і форм, спрямованих на отримання високого результату за час уроку.

- обов'язкове врахування характеру навчального матеріалу;

- використання елементів історії;

- вибір дослідницького метод, як найбільш послідовного для розуміння теми «Введення. Довжина дуги кола ».

Умови досягнення результатів:

1. взаємозв'язок тригонометрії з іншими науками;

2. дотримання спадкоємного навчання;

3. опора на отримані раніше знання;

4. активна взаємодія учнів у класі.

Основні принципи проведення уроку:

1. наочність;

2. доступність;

3. систематичність;

4. зв'язок з попереднім (безперервність).

література

Вид дошки на початок уроку: на дошці зображена числова окружність

Хід уроку:

Конспект уроку з алгебри, 10 клас.

Тема уроку: «Синус і косинус».

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.

Вид уроку: лекція, практична робота.

Мета навчання (для учнів): актуалізувати визначення синуса і косинуса, вивчити їх властивості.

Мета: ознайомити учнів з визначенням синуса і косинуса, скласти таблицю знаків синуса і косинуса по чвертях кола, вивчити властивості синуса і косинуса і формули приведення, привчити до роботи з довідковою та додатковою літературою.

Триєдині дидактичні цілі уроку:

· Освітня - ввести назву для декартових координат точок числової окружності: абсциса точки М (t) -cos (t), ордината точки М (t) - sin (t).

· Розвиваюча - розвивати увагу, логічне мислення, вміння аналізувати, узагальнювати і систематизувати.

· Виховна - розвиток пізнавального інтересу, виховання інформаційної культури.

Технологія організації проведення навчального заняття:

1. Підготовчий етап;

2. Проведення заняття;

3. Підбиття підсумків.

Алгоритм проведення навчального заняття:

1. організаційний момент;

2. постановка цілей уроку;

3. вивчення нового матеріалу;

4. практичні завдання;

5. підведення підсумків;

6. домашнє завдання.

Обгрунтування вибору методів, засобів і форм навчання:

Оптимізувати навчання шляхом розумного поєднання і співвідношення методів, засобів і форм, спрямованих на отримання високого результату за час уроку.

- обов'язкове врахування характеру навчального матеріалу;

- використання елементів історії;

- вибір дослідницького метод, як найбільш послідовного для розуміння теми «Синус і Косинус».

Умови досягнення результатів:

1. взаємозв'язок тригонометрії з іншими науками;

2. дотримання спадкоємного навчання;

3. опора на отримані раніше знання;

4. активна взаємодія учнів у класі.

Основні принципи проведення уроку:

1. наочність;

2. доступність;

3. систематичність;

4. зв'язок з попереднім (безперервність).

Хід уроку:

висновок

Розділ тригонометрії займає важливе місце в процесі вивчення математики в загальноосвітній школі і дуже важливо, щоб елементи історії при викладанні були актуальними, пізнавальними та розвиваючими. Провівши аналіз психолого-педагогічної літератури, ми з'ясували, що серед мотивів навчальної діяльності пізнавальний інтерес займає особливе місце. Для успішної навчальної діяльності необхідний баланс внутрішніх, соціальних і пізнавальних мотивів. При цьому грамотно побудована система зовнішніх стимулів може сприяти появі в перспективі внутрішньої мотивації при вивченні тригонометрії.

Аналіз історико-генетичного методу показав його ефективність при вивченні тригонометрії. Слід зазначити що при цьому викладені учителем історико-математичні відомості повинні бути послідовні, зрозумілі, цілісні і викликати інтерес до досліджуваного предмета в учнів.

Простеживши історичні етапи формування та розвитку тригонометрії в окрему гілку математики, а також показавши еволюцію викладання тригонометрії в школі, ми виклали основні принципи і вимоги до відбору історико-наукового матеріалу для включення в процес викладання тригонометрії.

Сучасна шкільна програма вказує на необхідність знайомства учнів з фактами з історії математики та біографіями великих математиків. Але в програмі немає конкретних вказівок, які відомості з історії, коли і як повідомляти школярам. У дипломній роботі розроблено зразкову планування уроків з включенням в них історико-математичного матеріалу.

Таким чином, результати дипломної роботи показали, що яка б не була форма повідомлення історичних фактів - коротка бесіда, екскурс, лаконічна довідка, рішення задачі, показ і роз'яснення малюнка, використане для цього на уроці час витрачено ефективно. Розповідь про історичні причини виникнення тригонометрії, її розвитку та практичному застосуванні спонукає у школярів інтерес до досліджуваного предмета, формує їх світогляд і підвищує загальну культуру. Представлені в роботі конспекти уроків показують, що завжди можна знайти як час, так і потрібне місце для повідомлення учням відомостей з історії математики.

Бібліографія.

1. Гордєєва, Т.О. Психологія мотивації досягнення. [Тескт] / Т.О. Гордеева.-М.: Сенс: Академія, 2006р.-336 с.

2. Методика і технологія навчання математики: Курс лекції: посібник для ВНЗ [Текст] / за ред. Н. С. Стефанової, Н. С. Подходовой.-М.: Дрофа, 2005р.-416с.: Ил.

3. Божович, Л. І. Вибрані психологічні праці: Проблема формування особистості [Текст] / Л.І. Божович; под.ред. Фельдштейна Д.І.-М.: Междунар.пел.акад., 1995.-209с.

4. Меморандум американських математіков.-пер. з англ. [текст] / Математика в школе.-1964г.-№4.

5. Азевич А. І. Дванадцять уроків гармонії: Гуманітарно-математично курс.-М .: Школа-Пресс, 1998р.-160с.: Ил. (Бібліотека журналу «Математика в школі». Вип.7).

6.Баврін І.І., Фрибус Е.А. Старовинні завдання: Кн. Для учащіхся.-М .: Просвещение, 1994.-128с.: Ил.

7. Волошинов А.В. Математика і іскусство.-2-е изд., Дораб. і доп.- М .: Просвещение, 2000-399с.: ил.

8. Гиндикин С.Г. Розповіді про фізиків і математіках.-2-е изд.-М .: Наука, Гл.ред. фіз.-мат.літ.; 1985-192с. (Бібліотека «Квант» вип.14)

9. Шібасов Л.П., Шібасова З.Ф. За сторінками підручника математики: Мат. аналіз. Теорія ймовірності. старін.і занимат. завдання: Кн. Для учнів 10-11 кл.общеобразоват.учрежденій.-М .: Просвещение, 1997.-269с.: Ил.

10. Бєлобородова С.В.Об історико-генетичному методі .// Математика в школе.-1999 №6.-с.7-10.

11. Давидов В.В. Теорія розвиваючого обученія.-М .: Інтор, 1996.-544с.: Ил.

12. Зоріна Л. Питання конструювання змісту середньої образованія.М., НІІОП, 1980.

13. Бондаревський В.Б. Виховання інтересу до занять і потреби до самообразованію.М.1985.

14. Барсуков А.Н. Математика в школе.1956№2

15. Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналіза.10-11 кл .: У двох частях.Ч1: Учеб.для загаль. Учрежденій.-3-е изд., Іспр.і-М .: Мнемозина, 2002.

16. Мордкович А.Г та ін. Алгебра і початки аналіза.10-11кл.: Задачник для загальноосвіт. учрежденій.-М .: Мнемозина, 2000..

17. Розенфельд Б.А. Історія неевклідової геометрії. Розвиток поняття про геометричному пространстве.М., «Наука», 1976

18. Глейзер Г.І. Історія математики в школе.-посібник для учітелей.М.Просвещеніе, 1981

додаток

Толстой Дмитро Андрійович (тисячу вісімсот двадцять три, Москва - 1889 році, Петербург), державний діяч.

Походив з аристократичного графського роду. У 1843 з відзнакою закінчив Царськосельський ліцей і, захопившись наукою, досліджував поширення в Росії різних релігій, за що був нагороджений премією Академії наук і наданий діамантовим перснем від Миколи I. У 1853 був призначений директором канцелярії Морського міністерства. У 1861 став керуючим департаментом Міністерства народної освіти. Ліберальні погляди Толстой не йшли далі скасування кріпосного права, він залишався противником реформ 60 - 70-х рр. - судової, земської і ін., Бачачи в них загрозу самодержавної влади.

У 1865 Толстой був призначений обер-прокурором Синоду. У 1866, після замаху Д.Д. Каракозова, коли було вирішено звернути серйозну увагу на виховання юнацтва, посиливши контроль за системою народної освіти, Толстой додав до своєї посади обов'язки міністра народної освіти, що, на думку К.Д. Ушинського, дозволило "тиснути народну освіту вагою двох міністерств". У 1871 Толстой провів реформу середньої освіти, спрямовану на знищення будь-якої було самостійності думки учнів. Вводив вивчення мертвих мов замість загальноосвітніх предметів; реорганізував реальні гімназії в училища, скоротивши в них термін навчання, і проводив в життя становий принцип: церковно-приходська школа для "народу", реальне училище для купців і промисловців, класична гімназія та ун-т для дворян. Толстой виступав також противником вищої освіти жінок.

Ось чому ліберально-демократичними колами реформа Толстой розцінювалася як реакційна. Хоча за час перебування Толстого при владі число середніх і вищих навчальних закладів збільшилася майже втричі, а нижчих - більш ніж в 20 разів, М.Т. Лоріс-Меліков писав про нього: "Особистість ця, яка стояла в продовження п'ятнадцяти років на чолі однієї з найважливіших галузей державного управління, створила більше зла Для Росії, ніж всі інші діячі, навіть разом узяті". У 1880, під час підготовки ліберальних реформ, Толстой був відправлений у відставку. Вбивство народовольцями Олександра 2 поховало надії на новий урядовий курс і привело в 1882 Толстого на пост міністра внутрішніх справ для наведення "твердого порядку". Толстой провів реорганізацію Міністерства внутрішніх справ і створив охоронні відділення, де провокація стала нормою агентурної роботи. Однак діяльність Г.П. Судейкина показала небезпеку подібної тактики.

Толстой поряд з К.П. Побєдоносцевим був найбільш яскравим, прямолінійним і освіченим виразником вузько дворянських інтересів, підготувавши проекти "контрреформ" - відновлення попередньої цензури (1882), скасування автономії унттов (1884), введення земських начальників (1889) та ін. Як людина, відомий низкою серйозних досліджень ( "Історія фінансових установ Росії з часу заснування держави до смерті імператриці Катерини II", "Римський католицизм в Росії", біографічний словник "Люди єкатерининського часу" та ін.), Толстой був призначений президентом А Адем наук. Будучи тяжко хворий, до кінця життя залишався на своїх постах, боячись приходу на своє місце людей з ліберально-демократичними переконаннями.

Використано матеріали кн .: Шикман А.П. Діячі вітчизняної історії. Біографічний довідник. Москва, 1997 р

[1] Малигін К.А. Елементи історизму в викладання математики в середній школі / К.А. Малигін. - М .: Учпедгіз.1956 - С. 3.

[2] Підласий І.П. Педагогіка: Новий курс: навч. Для студ. Пед. Вузів: в 2 кн. / І.П. Підласий. - М .: Гуманіст: Владос, 2000. - кн.1: Загальні основи. Процес навчання. - С.36