Дозвольте запросити вас на прогулянку по математичної Кунсткамері, де зібрані деякі експонати, які настільки ж відрізняються від знайомих зі шкільних або вузівських часів математичних образів, як іхтіозаври або які небудь тріцератопси від сучасних тварин.
Джин виходить з пляшки. Незвичайною є вже сама функція Дирихле, про яку говорилося вище. Адже на самому маленькому відрізку осі абсцис нескінченно багато і раціональних і ірраціональних чисел. Але функція Дирихле для раціональних чисел дорівнює одиниці, а для ірраціональних - нулю. Тому когдаx пробігає вісь абсцис, то значення функції весь час стрибає від 0 до 1 і назад. Побудувати графік цієї функції абсолютно неможливо, тому що ця функція у всіх точках розривна.
Але і серед безперервних функцій є функції з несподіваними властивостями. Наприклад, чи може безперервна функція мати на кінцевому відрізку нескінченно багато максимумів і мінімумів? На перший погляд це абсолютно неможливо. Адже функція повинна встигнути опуститися з точки максимуму в точку мінімуму і т. Д. Як же їй зробити все це на кінцевому відрізку? Проте виявилося, що такі дивні функції існують, причому побудувати їх зовсім неважко.
Побудуємо таку функцію на відрізку [0,1]. Для цього розділимо відрізок навпіл і побудуємо на лівій половині рівносторонній трикутник. Тепер розділимо залишилася праву половину знову на дві рівні частини і на частини [1/2, 3/4] побудуємо другий рівносторонній трикутник. Виконаємо описану операцію нескінченно багато разів. У нас вийде «гірський ланцюг», що складається з нескінченного числа вершин, поступово опускається до точки 1
0 1
Мал. 12
(Рис. 12). Приймемо отриману ламану за графік функції f (x). Тоді функція буде визначена в кожній точці відрізка [0,1], за винятком крайньої правої точки 1. У цій точці покладемо f (1) = 0.
Так як при наближенні до точки 1 висоти вершин прагнуть до нуля, отримана нами функція неперервна в усіх точках відрізка [0,1]. А число максимумів і мінімумів на цьому відрізку нескінченно велике!
Математику XVIII ст., Щоб побудувати таку дивну функцію, знадобилося б довго комбінувати різні функції, перш ніж він здогадався б, що функція
{X cos (π / x), якщо x ≠ 0
F (x) = {0, якщо x = 0
має нескінченно багато максимумів і мінімумів на відрізку [0,1].
Але функції з нескінченним числом максимумів і мінімумів були лише початком неприємностей, які чекали математиків. Джинн тільки почав виходити з пляшки.
"Мокрі точки". У функції, яку ми побудували в попередньому пункті, є лише одна точка, біля якої нескінченно багато максимумів і мінімумів, а саме точка 1. Зараз ми побудуємо іншу функцію, у якій таких точок буде куди більше.
Припустимо, що на відрізок [0,1] осі абсцис падає зверху дощ. Для захисту від дощу поступимо таким чином. Розділимо відрізок [0,1] на три рівні частини і зведемо над середньою частиною намет у формі рівностороннього трикутника. Вона захистить від дощу все точки середній частині (крім кінців цієї частини, тобто точок 1/3 і 2/3). Тепер кожну з решти двох частин знову розділимо на три рівні частини і захистимо середні частини наметами тієї ж форми (але втричі меншого розміру).
Мал. 13
У нас вийде лінія, зображена на рис. 13. На третьому кроці процесу ми побудуємо ще чотири намети, потім ще вісім і т. Д.
Виникає питання: чи всі точки відрізка захищені вийшла пилкоподібної лінією або залишилися точки, які дощ намочить? Деякі з таких "мокрих" точок вказати легко - ними є кінці захищаються відрізків (тобто такі, ка 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 і т. Д.) . Всі ці точки залишаються без захисту при зведенні відповідної намети, а наступні намети їх теж не захищають. Легко бачити, що таких решт буде нескінченне, але рахункове безліч.
Колючий лінія. Протягом багатьох століть математики мали справу лише з лініями, майже в кожній точці яких можна було провести дотичну. Якщо і зустрічалися винятки, то тільки в декількох точках. У цих точках лінія як би ламалася, і тому їх називали точками зламу. Протягом довгого часу ніхто з математиків не вірив, що може існувати безперервна лінія, що цілком складається з зубців, зламів і колючок. Велике було здивування, коли вдалося побудувати таку лінію, більш того, функцію, графік якої був такий колючою огорожею. Першим це зробив Больцано. Але його робота залишилася неопублікованою, і вперше такий приклад опублікував Вейерштрасс. Однак приклад Вейерштрасса дуже важко викласти - він заснований на теорії тригонометричних рядів. Приклад же Больцано нагадує лінії, які ми будували раніше.
Ось цей приклад з невеликими змінами. Розділимо відрізок [0,1] на чотири рівні частини і над двома середніми частинами побудуємо трикутник (рис. 16, а). Отримана лінія є графіком деякої функції, яку позначимо через y = f 1 (x).
а б
0 1 0 1
в
0 1
Мал. 16
Розділимо тепер кожну з чотирьох частин ще на чотири рівні частини і відповідно до цього побудуємо ще чотири рівнобедрених прямокутних трикутника (рис. 16, б). Ми отримаємо графік другої функції y = f 2 (x). Якщо скласти ці дві функції, то графік суми y = f 1 (x) + y = f 2 (x) буде мати вигляд, зображений на рис. 16, ст. Видно, що вийшла лінія має вже більше зламів і ці злами гущі розташовані. На наступному кроці ми знову розділимо кожну частину ще на чотири частини, побудуємо 16 рівнобедрених прямокутних трикутників і додамо відповідну функцію y = f 3 (x) до функції y = f 1 (x) + y = f 2 (x).
Продовжуючи цей процес, ми будемо отримувати все більш і більш зламані лінії. У межі вийде лінія, у якій злам в кожній точці і ні в одній точці до неї не можна провести дотичну.
Схожий приклад лінії, ніде не має дотичній побудував голландський вчений Ван-дерВарден. Він взяв рівносторонній трикутник, розділив кожну його сторону на три рівні частини і на середніх частинах побудував нові равносторонние трикутники, які дивляться назовні. У нього вийшла зірка. Тепер кожну з дванадцяти сторін цієї зірки він розділив ще на три частини і знову на кожній з середніх частин побудував правильний трикутник. Вийшла ще більш колючий лінія, в кожній точці якої є злам, колючка.
Мал. 17
Мал. 18
Математики побудували багато безперервних функцій, графіки яких не мали дотичній ні в одній точці, і почали вивчати їх властивості. Ці властивості зовсім не були схожі на властивості "добропорядних" гладких функцій, з якими вони до тих пір мали справу. Тому математики, виховані в класичних традиціях, з подивом дивилися на нові функції. Більш того, найвидатніший представник класичного математичного аналізу Шарль Ерміта так писав своєму другові, голландському математику Стилт'єсу. "Я з жахом відвертаюсь від цієї гідної жалю виразки безперервних функцій, які не мають похідної ні в одній точці" (тобто, як ми їх називали, усюди колючих ліній).
У фізиці зустрічаються лінії, дуже нагадують колючі лінії Ван-дер-Вардена та інших. Це - траєкторії часток, що здійснюють під ударами молекул броунівський рух. Французький вчений Ж. Перрен зробив замальовки руху таких частинок. Він спостерігав їх положення через кожні півхвилини і з'єднував отримані точки прямолінійними відрізками. В результаті у нього вийшли заплутані ламані, на кшталт зображених на рис. 18. Але не слід думати, що в дійсності між окремими спостереженнями частка рухалася по прямій. Якби Перрен спостерігав її НЕ через півхвилини, а через півсекунди, то кожен прямолінійний відрізок довелося б замінити ламаної, настільки ж складною, як і ламані на рис. 18. І чим менше були б проміжки між спостереженнями, тим складніше і "колюче" ставала б ламана. Американський математик Н. Вінер показав, що рух броунівський частинки, настільки малою, що її інерцією можна знехтувати, відбувається по лінії, ніде не має дотичній.
Як роблять статуї. Про багатьох знаменитих скульпторів розповідають, що на питання, як вдається робити такі чудові статуї, була відповідь: "Я беру брилу мармуру і відсікаю від неї все зайве". У різних книгах це можна прочитати про Мікеланджело, про Торвальдсеном, про Родена.
Тим же самим способом можна отримати будь-яку обмежену плоску геометричну фігуру: треба взяти якийсь квадрат, в якому вона лежить, а потім відсікти все зайве. Однак відсікати треба не відразу, а поступово, на кожному кроці відкидаючи шматочок, який має форму кола. При цьому сам коло викидається, а його межа - окружність - залишається в фігурі.
На перший погляд здається, що так можна отримати лише фігури такого виду, ка на рис. 23. Але вся справа в тому, що відкидають не один і не два кола, а нескінченне, точніше кажучи, рахункове безліч кіл. Таким шляхом можна отримати будь-яку фігуру. Щоб переконатися в цьому досить взяти до уваги, що безліч кіл, у яких раціональні і радіус і обидві координати центру, рахункове.
А тепер щоб отримати будь-яку фігуру, достатньо взяти з вмістом квадрат (брилу мармуру) і обріс всі кола зазначеного вище виду, які не містять жодної точки потрібної нам фігури. Якщо ж викидати кола не з квадрата, а з усією площині, то описаним прийомом можна отримати і необмежені фігури
![](http://www.bestreferat.ru/images/paper/72/41/7184172.png)
Мал. 23
А все таки їх можна виміряти. Над тим, що таке площа фігури, математики замислювалися ще до відкриття неквадріруемих областей. До цього протягом багатьох тисячоліть вчені користувалися понитіямі довжини, площі, обсягу, не піддаючи їх суворому критичному аналізу. Розповідають, що коли один французький генерал приніс в Паризьку академію наук своє "рішення" проблеми квадратури кола, його запитали, а що саме він розуміє під площею кола. "Площі не розуміють, їх обчислюють!" - вигукнув бравий генерал. І така точка зору була поширена тоді навіть серед математиків. Вони вважали, що площа - це число, зіставлене геометричної фігури і володіє очевидними властивостями (площа цілого дорівнює сумі площ частин, когруентние фігури мають рівні площі і т. Д.). Ні на одну хвилину вони не сумнівалися в тому, що будь-яка плоска геометрична фігура має площу (можливо, рівну нулю або нескінченності).
Але характерною рисою математики є те, що поряд зі створенням нових методів вирішення практичних завдань вона вивчає і відточує застосовуваний нею інструментарій, для кожного виникає поняття шукає найбільш широку і природну область його застосовності, для кожної доведеної теореми - найбільш загальні умови, при яких вона справедлива . І це не порожні заняття математичних снобів, а необхідність. Тільки встановивши поняття і теореми найбільшою спільності, звільнивши їх від непотрібних обмежень, пов'язаних з тією конкретною задачею, з якої вони виникли, можна побачити зв'язку між далекими один від одного областями науки, навчитися застосовувати створені методи в ситуаціях, які не мають на перший погляд нічого спільного з початковими джерелами цих методів.
Тому настільки очевидні, здавалося б, поняття, як довжина, площа, об'єм (пізніше всі ці поняття стали називати одним словом - міра), були піддані ретельному аналізу. Одна з перших робіт з уточнення поняття заходи належала Жорданія. Протягом багатьох десятиліть він читав в Парижі курс математичного аналізу, побудований на найточніших визначеннях, бездоганних доказах і найсуворішою логіці. І, звичайно, він не міг користуватися в цьому курсі розмитим поняттям площі. Вигаданий ним визначення площі можна сформулювати так: площа фігури - це число, яке лежить між безліччю площ багатокутників, що містяться в цій фігурі, і безліччю площ багатокутників, що містяться в цій фігурі, що містять ту ж фігуру. Виявилося, що площа по Жорданія мають ті і тільки ті плоскі фігури, межа яких має нульову площу. На жаль, занадто багато фігур не піддавалося вимірюванню по Жорданія; зокрема, не можна було виміряти описані вище неквадріруемие області.
За вирішення виниклих проблем взялися молоді вчені, натхненні лекціями Жордана.Одне з перших визначень, які можна застосувати до вельми широкого класу фігур, запропонував в кінці XIX в. Еміль Борель. Він зауважив, що всі виникаючі в науці фігури на прямий, площині і в просторі могли бути отримані з найпростіших фігур - відрізків, квадратів і кубів за допомогою двох основних операцій: освіти доповнення до безлічі і об'єднання лічильної сукупності множин (зокрема, як ми бачили вище, таким шляхом виходять все замкнуті безлічі). Чергуючи ці операції і продовжуючи такий процес трансфинитное чином, можна отримувати на кожному кроці все більш складні безлічі, названі на честь Бореля борелевская чи інакше По-множинами (відзначимо що застосовуючи ідею Зенона можна отримати кожне таке безліч за кінцевий проміжок часу, подвоюючи на кожному кроці швидкість застосовуваних операцій).
Виявилося що будь-якому борелевская безлічі можна приписати міру виходячи з наступних двох принципів:
А) якщо безліч А представимо у вигляді об'єднання лічильної сукупності підмножин, що мають міру, причому ніякі два з них не мають спільних точок, то міра всього безлічі дорівнює сумі ряду, складеного із заходів підмножин;
Б) міра доповнення до підмножини, що має міру, виходить шляхом вирахування заходи цього підмножини з заходи цілого.
З принципів Бореля випливало, зокрема, що будь-який рахункове безліч має нульову міру - адже воно є об'єднанням лічильної сукупності точок, а міра кожної з цих точок дорівнює нулю.
На жаль, пізніше з'ясувалося, що запропонований Борелем процес вимірювання множин мав істотним недоліком. Справа в тому, що один і той же безліч може бути різними способами складено з найпростіших, а тому треба було довести, що всі ці способи дадуть одне і те ж значення для заходів даної множини. Такого докази Борель не зміг отримати.
Інакше підійшов до проблеми вимірювання множин починав в ті роки свою наукову діяльність Анрі Лебег. Вже перші роботи Лебега розгнівали математиків класичного напряму. Сама назва однієї з них «Про нелінійних розгортаються поверхнях» здавалося їм настільки ж протиприродним, як, наприклад назву «Про газоподібному льоді» для фізики або «Про рибообразних слонах» для біолога. Найслабший студент знав, що будь-яка поверхня, яку можна розгорнути на площину (циліндр, конус і т. Д.), Виткана з прямих ліній, тобто може бути отримана рухом прямолінійної твірної. Але вся справа була в тому, що молодий автор по іншому розумів розгортаються поверхні, ніж геометри-класики.
Він вважав такими не тільки поверхні, одержувані акуратним згинанням аркуша паперу, але і поверхні, які вийдуть, якщо цей аркуш паперу зім'яти (пояснюючи свою роботу одному з друзів, Лебег сказав: «Уяви собі зім'ятий носовичок»). Він довів, що шматок площині можна так «зім'яти», що після цього на ньому не виявилося жодного прямолінійного відрізка. Зрозуміло, що вийшла поверхню вся складалася з складок і зламів. Тому її і пропустили геометри, класифіковані розгортаються поверхні: вони займалися лише гладким випадком.
Від вивчення довільних розгортаються поверхонь Лебег перейшов до загального питання, як визначити площу поверхні, якщо ця поверхня не є гладкою, якщо до неї ніде не можна провести дотичну площину. Для зім'ятою розгортається поверхні задача вирішується просто: треба розправити її і підрахувати площу вийшло шматка площині. Але ця відповідь не можна було отримати за формулами, які давала класична математика: вони годилися лише для гладких поверхонь.
Не вдалася б і спроба вимірювати площі поверхонь, вписуючи в них багатогранники і переходячи до межі при зменшенні розмірів всіх граней. Німецький математик Г. Шварц показав, що таким шляхом можна знайти площу самого звичайного циліндра - вписаний в нього багатогранник може виявитися настільки складчастим, що площа його поверхні куди більше площі циліндра. Лебегу вдалося придумати визначення площі поверхні, яке не вимагало проведення дотичних площин, але в той же час обходила всі труднощі, пов'язані з «гармошкою Шварца». Вирішуючи цю приватну задачу, Лебег прийшов до загальних ідей про те, що таке міра безлічі, як вимірювати довжини, площі, і обсяги найхимерніших фігур.
Взявши від Бореля ідею підсумовування рядів, він видозмінив визначення, запропоноване Жорданом, дозволивши використовувати крім багатокутників і фігури, одержувані з них за допомогою об'єднання рахункових сукупностей. Саме, назвемо фігуру ε-покривається за Лебегу, якщо існує рахункова система багатокутників, об'єднання яких покриває цю фігуру, причому сума ряду, складеного з їх площ менше, ніж ε. Далі, назвемо безліч X вимірним по Лебегу, якщо для будь-якого ε> 0 його можна представити у вигляді багатокутника Аε, до якого приєднано одне ε-покривається безліч і від якого відкинуто інше ε-покривається безліч. Якщо міру багатокутника А позначити через | А |, то ясно, що міра безлічі X повинна бути укладена між числами | Аε | - ε і | Аε | + ε. Виявилося, що для вимірних по Лебегу множин завжди існує одне і тільки одне число, що володіє цією властивістю, яке б ε> 0 ми не вибрали і який наближає багатокутник Аε ні взяли. Це-то число і називають мірою Лебега безлічі Х.
Після створення поняття міри Лебега виявилося, що для неї немає ніяких ускладнень, причому по Лебегу можна виміряти всі зустрілися до того в науці безлічі. Пізніше були побудовані приклади невимірних множин, але вони використовують так звану аксіому вибору, про яку йтиметься нижче. Побудовані з її допомогою приклади не є конструктивними.
Тому можна сказати, що Лебег вирішив проблему вимірювання всіх множин, які можуть зустрітися в практичній роботі математиків.
За допомогою введеного ним поняття міри Лебег зумів знайти інтеграли всіх розривних функцій, які можна було побудувати відомими в той час методами (інтеграл Лебега).
Тріумф ідей Лебега привів до того, що навіть один з вождів математиків - класиків Гастон Дарбу змінив свою думку і, виступаючи в 1908р. на Математичному конгресі в Римі, говорив про полум'яного і допитливому дусі математики ХХ ст., про науку, яка веде свої дослідження в абсолютно новій області з незвіданими перспективами. Він підкреслив, що наука ХХ ст. не боїться атакувати основи побудов, які так довго здавалися непохитними.
Пізніше ідеї, що призвели до створення міри та інтеграла Лебега, дозволили А. Н. Колмогорова побудувати аксіоматику теорії ймовірностей, а Норбертові Вінерові - визначити поняття міри і інтеграла для просторів, що складаються з функцій.
Роботу треба не рецензувати, а друкувати! Урисон довів багато цікавих теорем, пов'язаних з введенням їм поняттям розмірності. Але одну найголовнішу теорему йому ніяк не вдавалося довести: не виходило доказ того, що самий звичайний куб має розмірність 3. Після тривалих зусиль він знайшов чудовий вихід з положення, придумавши нове визначення розмірності. Ми не будемо детально викладати це визначення, а пояснимо його на найпростіших постатях.
Якщо взяти відрізок або окружність, то їх можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна точка належить не більше ніж двом шматочках (рис. 33). При цьому треба брати шматочки разом з їх межами (тобто кінцевими точками). Квадрат вже так розбити не можна. На перший погляд здається, що при розбитті квадрата на шматки завжди будуть точки, що належать чотирьом частинам (рис. 34, а). Але якщо укласти частини так, як цеглини на будівництві, то вдається домогтися щоб кожна точка належала не більше ніж трьом різним частинам (рис.34, б). Точно так же у куба є розбиття на маленькі паралелепіпеди при якому кожна точка належить не більше ніж чотирьом паралелепіпеда.
Саме це властивість і прийняв Урисон за нове визначення розмірності. Фігура називається має розмірність n, якщо її можна розбити на скільки завгодно малі замкнуті частини так, щоб жодна крапка не належала n + 2 різним частинам, але при
Мал. 33 Рис. 34
будь-якому досить дрібному розбитті знайдуться точки, що належать n + 1 різних частин.
Використовуючи це визначення розмірності, Урисон довів що розмірність квадрата дорівнює 2, куба - 3 і т. Д. А потім він показав, що це визначення рівносильне спочатку даним.
Побудована Урисоном теорія розмірності справила глибоке враження на весь математичний світ. Про це яскраво свідчить такий епізод. Під час закордонного відрядження Урисон зробив доповідь про свої результати в Геттінген. До приходу нацистів до влади Геттінгскій університет був одним з основних математичних центрів. Після доповіді керівник геттингенской математичної школи знаменитий Давид Гільберт сказав, що ці результати треба опублікувати в журналі «Mathematische Annalen» - одному з головних математичних журналів того часу. Через кілька місяців Урисон знову робив доповідь в Геттінгені і Гільберт запитав у свого помічника по журналу, надрукована вже робота Урисона. Той відповів, що робота рецензується. «Але я ж ясно сказав, що її треба не рецензувати, а друкувати!» - вигукнув Гільберт. Після настільки недвозначного заяви стаття була негайно надрукована.
Протягом трьох років тривала не має рівних за глибиною і напруженості наукова діяльність Урисона (за цей час він опублікував кілька десятків наукових робіт). Трагічний випадок обірвав його життя - він потонув 17 серпня 1924р., Купаючись під час шторму в Біскайській затоці. За день до смерті він закінчив чергову наукову роботу.
Після смерті П. С. Урисона залишилися численні чернетки і начерки неопублікованих результатів. Його найближчий друг (і співавтор по багатьом роботам) Павло Сергійович Александров, відклавши на деякий час свої дослідження, підготував ці роботи до друку, зробивши тим самим і ці результати Урисона надбанням всіх математиків. В даний час теорія розмірності стала важливою главою математики.
|